Α.3.1. Η έννοια της συνάρτησης

Αυτό που μας έχει δυσκολέψει μέχρι τώρα στο ταξίδι μας ήταν η έννοια της μεταβλητής και η διαχείρισή της. Και επειδή είμαστε φοβεροί ταξιδιώτες, πάμε να ζήσουμε πιο δύσκολες περιπέτειες, εξερευνώντας την έννοια της συνάρτησης.

Θα ξεκινήσουμε απευθείας με βουτιά στα βαθιά και συγκεκριμένα στον ορισμό της συνάρτησης.

Ορισμός:

Συνάρτηση είναι μια διαδικασία κατά την οποία κάθε τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχίζεται σε μία μόνο τιμή της μεταβλητής y.

Είναι λογικό να μην καταλάβατε τίποτα... Πάμε να τα δούμε μαζί αναλυτικά και θα γίνουν όλα κατανοητά!

---

Η έννοια της συνάρτησης

Για να κατανοήσουμε την έννοια της μεταβλητής, θα μεταφερθούμε μέχρι το Colorado και το εικονικό εργαστήριο Phet (https://phet.colorado.edu/).

Η συνάρτηση είναι μια μηχανή, όπως αυτή που βλέπετε παρακάτω, στην οποία κάνεις μια εισαγωγή και παίρνεις ένα αποτέλεσμα.

Ας επιλέξουμε, για παράδειγμα, ο μηχανισμός να είναι ο καθρέπτης. Αν επιλέξουμε ως είσοδο τις πατούσες, παρατηρούμε ότι ως αποτέλεσμα βγαίνουν οι πατούσες όπως θα τις βλέπαμε τις τοποθετούσαμε μπροστά σε έναν καθρέπτη.

 

 

 

 

Αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα της μηχανής μπορεί να είναι διαφορετικό από αυτό που εισάγουμε. Μπορεί, όμως, να είναι και το ίδιο.

 

 

 

 

 

Εδώ βάλαμε την πεταλούδα και μετά το καθρέφτισμα βγάλαμε το ίδιο αποτέλεσμα.

Επίσης, η μηχανή (δηλαδή η συνάρτηση) μπορεί να είναι πιο περίπλοκη, όπως στο παρακάτω παράδειγμα.

 

 

 

 

Εδώ η πεταλούδα καθρεφτίστηκε,  περιστράφηκε και έγινε ασπρόμαυρη.

Και θα μου πείτε... και τι σχέση έχουν όλα αυτά με τα μαθηματικά;

Η μηχανή (συνάρτηση) δεν σχετίζεται μόνο με πατούσες και πεταλούδες, αλλά και με αριθμούς.

 

Ο μηχανισμός της συνάρτησης εδώ είναι, στον αριθμό που θα εισαχθεί στη μηχανή, να προσθέσεις 1 και στη συνέχεια να αφαιρέσεις το 3.

 

 

 

 

Αν εισάγουμε τον αριθμό 0, παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα βγαίνει -2, καθώς

0+1-3=-2

 

 

 

Αν εισάγουμε τον αριθμό 1 το αποτέλεσμα βγαίνει -1, καθώς

1+1-3=+2-3=-1

 

 

 

Τέλος, αν βάλουμε τον αριθμό -4, το αποτέλεσμα βγαίνει -6, καθώς

-4+1-3=-7+1=-6.

 

Μπορείτε να μπείτε στο σύνδεσμο https://phet.colorado.edu/sims/html/function-builder/latest/function-builder_all.html να επιλέξετε την επιλογή Numbers και να πειραματιστείτε πάνω στο μηχανισμό της συνάρτησης.

Πάμε να δούμε τώρα τη σχέση που έχουν όλα αυτά που είδαμε με τον ορισμό.

• Όπως είδαμε στις εικόνες σε κάθε συνάρτηση υπάρχει η είσοδος και το αποτέλεσμα. Η είσοδος είναι ο αριθμός x και το αποτέλεσμα είναι ο αριθμός y.
• Για να πάρει μπρος η μηχανή (συνάρτηση) πρέπει να έχει οπωσδήποτε μια είσοδο. Αυτό σημαίνει η φράση "κάθε μεταβλητή x".
• Επίσης, η μηχανή (συνάρτηση) βγάζει ένα αποτέλεσμα κάθε φορά. Αυτό σημαίνει η έκφραση "σε μία μόνο τιμή της μεταβλητής y".

Με πολύ απλά λόγια, η συνάρτηση είναι μια αντιστοίχηση, κατά την οποία επιλέγω ένα x και το αντιστοιχίζω σε ένα μόνο αριθμό y.

Και, όπως καταλαβαίνετε, η δυσκολία της είναι ότι εδώ έχουμε να διαχειριστούμε 2 μεταβλητές!!!

---

Τύπος συνάρτησης

Και θα μου πείτε και πάλι, ωραία όλα αυτά... αλλά τη μηχανή θα μου τη δίνουν έτοιμη ή θα πρέπει να τη φτιάξω εγώ;

Η απάντηση είναι ... εξαρτάται από την άσκηση!

• Η πιο απλή περίπτωση είναι να δίνεται ο τύπος της συνάρτησης.

Για παράδειγμα, έστω ότι δίνεται η συνάρτηση y=2x και ο παρακάτω πίνακας.

x	0	-1
y			4

Για να συμπληρώσουμε τα κελιά του πίνακα που είναι κενά, θα κάνουμε αντικατάσταση του αριθμού που μας δίνεται, στη συνάρτηση.

Προσοχή! Πρέπει να προσέχουμε αν ο αριθμός πρέπει να μπει στη θέση του x ή του y.

Στο παράδειγμά μας, η πάνω σειρά είναι οι τιμές του x και η κάτω σειρά είναι οι τιμές του y.

x	0	-1
y			4

Άρα για x=0,  θα κάνω αντικατάσταση στη συνάρτηση y=2x όπου x το 0 και θα κάνω τις πράξεις, δηλαδή

y=2x

y=2•0

y=0

x	0	-1
y	0		4

Για x=-1 έχουμε

y=2x

y=2•(-1)

y=-2

x	0	-1
y	0	-2	4

Για y=4 έχουμε

y=2x

4=2x

4/2=2x /2

2=x

x	0	-1	2
y	0	-2	4

Σε αυτό το σημείο, μπορείτε να ασχοληθείτε με την Ερώτηση Κατανόησης 5 στη σελίδα 57 του σχολικού βιβλίου και τις ασκήσεις 1, 2 και 7 στην ίδια σελίδα.

• Η πιο δύσκολη περίπτωση είναι να πρέπει να βρούμε εμείς τον τύπο.

Σε αυτήν την περίπτωση θα ήθελα να ανατρέξετε στην έννοια της μεταβλητής και να θυμηθείτε πώς κάναμε τη "μετάφραση" στα μαθηματικά. Οι πληροφορίες που χρειάζεστε βρίσκονται στον παρακάτω σύνδεσμο.

Τα μαθηματικά, μια παγκόσμια γλώσσα

Υπενθύμιση

Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να θυμηθούμε τους τύπους που συνδέουν την αύξηση, τη μείωση, την αρχική και την τελική τιμή, όταν έχουμε ποσοστά.

Όταν έχουμε αύξηση:

Αύξηση = ποσοστό • Αρχική Τιμή

Τελική Τιμή = Αρχική Τιμή + ποσοστό • Αρχική Τιμή

Όταν έχουμε μείωση:

Μείωση = ποσοστό • Αρχική Τιμή

Τελική Τιμή = Αρχική Τιμή - ποσοστό • Αρχική Τιμή

Σε αυτό το σημείο, μπορείτε να κάνετε τις Ερωτήσεις Κατανόησης 1, 2, 3 και 4 στις σελίδες 56-57 του σχολικού βιβλίου, καθώς και τις ασκήσεις 3, 4, 5, 6 και 8 στη σελίδα 57 του σχολικού βιβλίου.

Σε αυτό το σημείο, μπορείτε να ασχοληθείτε με την Ερώτηση Κατανόησης 5 στη σελίδα 57 του σχολικού βιβλίου και τις ασκήσεις 1, 2 και 7 στην ίδια σελίδα.

.