1.4 Πυθαγόρειο Θεώρημα

Αυτή τη χρονιά θα ασχοληθούμε αρκετά με τα τρίγωνα και κυρίως με τα ορθογώνια τρίγωνα. Πάμε να τα γνωρίσουμε λίγο καλύτερα;

Ορθογώνιο τρίγωνο ονομάζεται το τρίγωνο που έχει μια ορθή γωνία (δηλαδή μια γωνία 90º).

Υπενθυμίζουμε ότι το ορθογώνιο τρίγωνο έχει τρεις πλευρές, οι οποίες ονομάζονται με δύο τρόπους:

• από τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ
• από την απέναντι γωνία, χρησιμοποιώντας το αντίστοιχο μικρό γράμμα, δηλαδή
  • • απέναντι από τη γωνία Α βρίσκεται η πλευρά α
    • απέναντι από τη γωνία Β βρίσκεται η πλευρά β και
    • απέναντι από τη γωνία Γ βρίσκεται η πλευρά γ.

Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία είναι η μεγαλύτερη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου και ονομάζεται υποτείνουσα.

Οι άλλες δύο πλευρές ονομάζονται κάθετες πλευρές.

---

Πυθαγόρειο Θεώρημα

Ένα από τα πιο αγαπητά θεωρήματα των μαθηματικών είναι το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Και αν δε με πιστεύετε, δείτε το παρακάτω βίντεο.

Είναι τόσο διάσημο, που έχει γίνει και τραγούδι!!!!

"Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας."

Και τι εννοεί ο Πυθαγόρας με αυτό;

Παρατηρήστε την παρακάτω φωτογραφία.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα το χρησιμοποιούμε όταν γνωρίζουμε τις δύο πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου και θέλουμε να βρούμε την τρίτη πλευρά.

Πάμε να το δούμε αναλυτικά μέσα από παραδείγματα.

Α' Περίπτωση: Ξέρω τις δύο κάθετες πλευρές και ψάχνω να βρω την υποτείνουσα.

Παίρνω τον τύπο, κάνω αντικατάσταση στις κάθετες πλευρές και κάνω πράξεις.

Εφαρμόζω Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ και έχω:

α² = β²+γ²

ΒΓ² = ΑΓ²+ΑΒ²

α² = 4²+3²

α² = 16+9

α² = 25

α = 5

Β' Περίπτωση: Ξέρω την υποτείνουσα και τη μια κάθετη πλευρά και ψάχνω να βρω την άλλη κάθετη πλευρά.

Α' τρόπος: Παίρνω τον τύπο, κάνω αντικατάσταση την υποτείνουσα και λύνω εξίσωση.

Εφαρμόζω Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ και έχω:

α² = β²+γ²

ΒΓ² = ΑΓ²+ΑΒ²

10² = β²+6²

100 = β²+36

β² = 100-36

β² = 64

β=8

Β' Τρόπος: Ξεκινάω από την πλευρά που ψάχνω, δηλαδή την κάθετη.

κάθετη² = υποτείνουσα² - κάθετη²

β² = α² - γ²

ΑΓ² = ΒΓ² - ΑΒ²

β² = 10²-6²

β²=100-36

β² = 64

β=8

Για να εμβαθύνουμε λίγο περισσότερο στο Πυθαγόρειο Θεώρημα, ας παρακολουθήσουμε το παρακάτω βίντεο, στο οποίο αναφέρονται δύο αποδείξεις του θεωρήματος.

---

Αντίστροφο Πυθαγορείου Θεωρήματος

"Αν σε ένα τρίγωνο, το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή."

Και σε τι μου χρησιμεύει αυτό;

Το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος το χρησιμοποιούμε όταν γνωρίζουμε και τις 3 πλευρές ενός τριγώνου και θέλουμε να δείξουμε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Θέλουμε να εξετάσουμε αν το παρακάτω τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Εφαρμόζω Αντίστροφο Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ και έχω:

Παίρνω τη μεγαλύτερη πλευρά στο τετράγωνο:

α² = ΒΓ²=10²=100

Παίρνω το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών:

β²+γ² = ΑΓ²+ΑΒ² = 8²+6² = 64+36=100

Άρα ισχύει α² = β²+γ². Οπότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά α (τη μεγαλύτερη πλευρά) και ορθή γωνία τη γωνία Α.

Πάμε να τα συνοψίσουμε όλα αυτά στο παρακάτω βίντεο.

 

1.3 Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων

Αλήθεια, ξέρετε αν θέλετε να βάψετε το δωμάτιό σας, πόση μπογιά θα χρειαστείτε; Αν θέλετε να βάλετε πλακάκια σε ένα δωμάτιο; Αν θέλετε να κοστολογήσετε ένα χωράφι;

Και θα μου πείτε... είμαστε αρκετά μικροί για όλα αυτά. Αυτά θα τα κάνουν οι γονείς μας! Έχετε αναρωτηθεί ότι και οι γονείς σας μπορεί να μη ξέρουν και να χρειάζονται τη βοήθειά σας;

Όλα τα παραπάνω ερωτήματα σχετίζονται με την έννοια της επιφάνειας και του εμβαδού.

Πάμε να γνωρίσουμε τους τύπους για τα εμβαδά των γνωστών ευθύγραμμων σχημάτων.

---

Τετράγωνο

Τετράγωνο είναι το τετράπλευρο που έχει όλες τις γωνίες ορθές και όλες τις πλευρές του ίσες.

Ο τύπος για το εμβαδόν του τετραγώνου είναι :

---

Ορθογώνιο

Ορθογώνιο είναι το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες και τις γωνίες του ορθές.

Ο τύπος για το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι:

Δηλαδή, για να βρούμε το εμβαδόν του ορθογωνίου, πολλαπλασιάζουμε δύο διαδοχικές πλευρές του.

Εναλλακτικά, η μια πλευρά του ορθογωνίου μπορεί να θεωρηθεί ως  βάση (β) και η άλλη ως ύψος (υ). Οπότε ο τύπος γίνεται:

---

Παραλληλόγραμμο

Παραλληλόγραμμο είναι το σχήμα που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.

Ο τύπος για το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι:

Παρατηρήσεις:

1. Ως βάση του παραλληλογράμμου μπορούμε να πάρουμε οποιαδήποτε πλευρά του.
2. Ο τύπος Ε=β•υ σημαίνει ότι πολλαπλασιάζω τη βάση με το αντίστοιχο ύψος.
3. Οι παράλληλες πλευρές έχουν το ίδιο ύψος.

---

Τρίγωνο

Τρίγωνο είναι ένα σχήμα με τρεις πλευρές και τρεις γωνίες.

Ο τύπος για το εμβαδόν του τριγώνου είναι:

Παρατηρήσεις:

1. Βάση μπορεί να θεωρηθεί οποιαδήποτε πλευρά του τριγώνου.
2. Ως ύψος επιλέγουμε αυτό που αντιστοιχεί στη βάση που έχουμε επιλέξει.
3. Ύψος ενός τριγώνου είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινάει από την κορυφή και καταλήγει στην απέναντι πλευρά του τριγώνου.

---

Τραπέζιο

Τραπέζιο ονομάζεται το σχήμα που έχει δύο μόνο απέναντι πλευρές παράλληλες.

Οι παράλληλες πλευρές ονομάζονται βάσεις του τραπεζίου.

Η μικρή παράλληλη πλευρά ονομάζεται μικρή βάση και συμβολίζεται με β, ενώ η μεγάλη παράλληλη πλευρά ονομάζεται μεγάλη βάση και συμβολίζεται με Β.

Ο τύπος για το εμβαδόν του τραπεζίου είναι:

Παρατήρηση:

Ύψος είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που έχει τα άκρα του στις παράλληλες πλευρές.

---

Για να εμβαθύνουμε λίγο παραπάνω στα εμβαδά, ας μελετήσουμε το παρακάτω αρχείο. Στο συγκεκριμένο αρχείο περιλαμβάνονται συνοπτικά οι τύποι, κάποιες βασικές παρατηρήσεις,  μια βασική άσκηση, καθώς και πώς υπολογίζουμε το εμβαδόν ενός ακανόνιστου σχήματος.

1.3 Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων

Ήρθε η ώρα της εξάσκησης. Το παρακάτω φύλλο εργασιών περιλαμβάνει ασκήσεις πάνω στα εμβαδά.

1.3 Ασκήσεις στα εμβαδά

1.2 Μονάδες Μέτρησης Επιφανειών

Βασική μονάδα μέτρησης του εμβαδού είναι το τετραγωνικό μέτρο (m²). Φυσικά, δε χρησιμοποιούμε μόνο αυτό. Ανάλογα με το μέγεθος χρησιμοποιούμε πολλαπλάσια ή υποδιαιρέσεις του τετραγωνικού μέτρου.

Πάμε να τα γνωρίσουμε μαζί!

Πάμε τώρα να δούμε ποια είναι η σχέση που συνδέει όλες αυτές τις μονάδες.

Όπως παρατηρείτε στη φωτογραφία, όταν βάλουμε τις μονάδες μέτρησης σε φθίνουσα σειρά (από τη μεγαλύτερη στη μικρότερη), δημιουργείται μια σκάλα.

Όταν κατεβαίνω τη σκάλα (δηλαδή πάω από μεγαλύτερες μονάδες μέτρησης σε μικρότερες) κάνω πολλαπλασιασμό.

Όταν ανεβαίνω τη σκάλα (δηλαδή πηγαίνω από μικρότερες μονάδες μέτρησης σε μεγαλύτερες) κάνω διαίρεση.

Επίσης, η σκάλα είναι ανομοιόμορφη καθώς στα πολλαπλάσια αντιστοιχεί ο αριθμός 1000, ενώ στις υποδιαιρέσεις αντιστοιχεί ο αριθμός 100.

Για να το καταλάβετε καλύτερα αυτό, παρατηρήστε την παρακάτω σκάλα.

Για να καταλάβουμε πώς γίνονται οι μετατροπές από τη μια μονάδα στην άλλη, παρακολουθήστε το παρακάτω βίντεο.

Μονάδες Μέτρησης Εμβαδού

Ώρα να ελέγξουμε κατά πόσο μπορούμε να κάνουμε και μόνοι μας τις μετατροπές με ένα quizz!

Μονάδες Μέτρησης Επιφανειών

 

1.3 Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα ευθυγράμμων τμημάτων – Απόσταση σημείων – Μέσο ευθυγράμμου τμήματος

Έχει τύχει ποτέ να μετρήσετε κάτι στη ζωή σας; Για παράδειγμα, ένα έπιπλο για να δείτε αν χωράει να περάσει από μια πόρτα, πόσο μακριά είναι το σπίτι σας από τη θάλασσα ή ακόμα και το ύψος σας;

Αν ναι, τι όργανα χρησιμοποιήσατε για να κάνετε τις μετρήσεις σας;

Υπάρχουν πολλά όργανα, με τα οποία μετράμε το μήκος και θα γνωρίσουμε μέσα από το βίντεο που ακολουθεί.

Πηγή: zouboulakis nikos (2018, Δεκέμβριος 31). Όργανα Μέτρησης Μήκους (nz) [βίντεο]. YouTube. Ανακτήθηκε από https://www.youtube.com/watch?v=aQB8X1_BYuk

Βασική μονάδα μέτρησης του μήκους είναι το μέτρο (m). Φυσικά, δε χρησιμοποιούμε μόνο αυτό. Ανάλογα με το μέγεθος χρησιμοποιούμε πολλαπλάσια ή υποδιαιρέσεις του τετραγωνικού μέτρου.

Πάμε να τα γνωρίσουμε μαζί!

Πάμε τώρα να δούμε ποια είναι η σχέση που συνδέει όλες αυτές τις μονάδες.

Όπως παρατηρείτε στη φωτογραφία, όταν βάλουμε τις μονάδες μέτρησης σε φθίνουσα σειρά (από τη μεγαλύτερη στη μικρότερη), δημιουργείται μια σκάλα.

Όταν κατεβαίνω τη σκάλα (δηλαδή πάω από μεγαλύτερες μονάδες μέτρησης σε μικρότερες) κάνω πολλαπλασιασμό.

Όταν ανεβαίνω τη σκάλα (δηλαδή πηγαίνω από μικρότερες μονάδες μέτρησης σε μεγαλύτερες) κάνω διαίρεση.

Επίσης, η σκάλα είναι ανομοιόμορφη καθώς στα πολλαπλάσια αντιστοιχεί ο αριθμός 1000, ενώ στις υποδιαιρέσεις αντιστοιχεί ο αριθμός 10.

Για να το καταλάβετε καλύτερα αυτό, παρατηρήστε την παρακάτω σκάλα.

Για να καταλάβουμε πώς γίνονται οι μετατροπές από τη μια μονάδα στην άλλη, παρακολουθήστε το παρακάτω βίντεο.

Μονάδες Μέτρησης Μήκους

Ώρα να ελέγξουμε κατά πόσο μπορούμε να κάνουμε και μόνοι μας τις μετατροπές με ένα quiz!

Μονάδες Μέτρησης Μήκους

---

Απόσταση μεταξύ δύο σημείων

Απόσταση μεταξύ δύο σημείων Α και Β ονομάζεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που τα ενώνει και συμβολίζεται με ΑΒ ή (ΑΒ).

Μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ένα σημείο που ισαπέχει (απέχει την ίδια απόσταση) από τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος.

Για να βρούμε το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος:

• Μετράμε το ευθύγραμμο τμήμα με το χάρακα.
• Διαιρούμε τον αριθμό που βρήκαμε δια 2.
• Βάζουμε το χάρακα πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα και ξεκινάμε να μετράμε από το ένα άκρο, μέχρι να φτάσουμε στον αριθμό που βρήκαμε στη διαίρεση. Εκεί κάνουμε ένα σημείο και του δίνουμε ένα όνομα (αυτό που λέει η εκφώνηση ή αν δεν αναφέρεται στην εκφώνηση, επιλέγουμε όποιο θέλουμε εμείς).

Α.1.2. Εξισώσεις α’ βαθμού

Ένα από τα μεγαλύτερα εργαλεία των μαθηματικών αποτελεί η εξίσωση.

• Εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο x.

Αλήθεια, μπορείτε να καταλάβετε τον παραπάνω ορισμό;

Για να σας βοηθήσω, ας μπούμε στο εικονικό εργαστήριο του Phet στον παρακάτω σύνδεσμο.

https://phet.colorado.edu/sims/html/equality-explorer/latest/equality-explorer_all.html

Στο περιβάλλον αυτό μπορείτε να δημιουργήσετε τις δικές σας εξισώσεις. Ιδιαίτερα στην καρτέλα Variables και Operations, μπορείτε να δημιουργήσετε τις δικές σας εξισώσεις, και να αλλάζετε τις τιμές του x (πάνω δεξιά), μέχρι να δείτε τη ζυγαριά να ισορροπεί, που σημαίνει ότι έχετε βρει τη λύση της εξίσωσης.

• Η δυσκολία εδώ και το σημείο που χρειάζεται μεγάλη προσοχή είναι να ξεχωρίσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις από τις εξισώσεις.

Μια εξίσωση αποτελείται από δύο αλγεβρικές παραστάσεις. Η μια βρίσκεται δεξιά από το = και η άλλη αριστερά από το =.

Καθεμία από αυτές τις παραστάσεις αποτελούν τα μέλη της εξίσωσης.

2χ + 3	=	χ - 7 - 5χ
Α΄μέλος		Β΄μέλος

---

Διαδικασία Επίλυσης Εξισώσεων

Στον παρακάτω σύνδεσμο περιγράφεται αναλυτικά η διαδικασία που ακολουθούμε για την επίλυση των εξισώσεων Α' βαθμού.

1.2 Εξισώσεις 1ου βαθμού

Παρατηρήσεις:

Η σειρά των βημάτων που περιγράφονται στον παραπάνω σύνδεσμο δεν είναι αυστηρή. Ωστόσο, στο επίπεδο που είστε, καλό είναι να τα ακολουθείτε πιστά, ώστε να έχετε μικρότερες πιθανότητες για λάθη.

1.5. Χαρακτήρες Διαιρετότητας – ΜΚΔ – ΕΚΠ – Ανάλυση Αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Πολλαπλάσια

Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς.

0, α, 2α, 3α, 4α, …

Πολλαπλάσια του 3

0 · 3 = 0

1 · 3 = 3

2 · 3 = 6

3 · 3 = 9

4 · 3 = 12

…

 

 

 

 

 

 

Με απλά λόγια είναι τα αποτελέσματα της προπαίδειας.

Ιδιότητες:

• Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του.

                         π.χ. Το 4 είναι πολλαπλάσιο του 2, οπότε το 2 διαιρεί το 4.

• Κάθε φυσικός που διαιρείται από έναν άλλο είναι πολλαπλάσιό του.

                          π.χ. Το 6 διαιρείται από το 3. Οπότε το 6 είναι πολλαπλάσιο του 3.

• Αν ένας φυσικός διαιρεί έναν άλλο, θα διαιρεί και τα πολλαπλάσιά του.

                           π.χ. Το 2 διαιρεί το 6. Το 12 είναι πολλαπλάσιο του 6. Άρα το 2 διαιρεί το 12.

• Τα πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι άπειρα.
• Με εξαίρεση το 0 και τον ίδιο τον αριθμό, όλα τα υπόλοιπα πολλαπλάσια είναι μεγαλύτερα από τον αριθμό.

Κοινά πολλαπλάσια του α και του β ονομάζονται οι αριθμοί που είναι συγχρόνως πολλαπλάσια του α και του β.

π.χ.

2	0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,…
5	0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,…

Οι αριθμοί 0,10,20,30 είναι πολλαπλάσια και του 2 και του 5, δηλαδή είναι τα κοινά τους πολλαπλάσια.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του α και του β ονομάζεται το μικρότερο μη μηδενικό κοινό πολλαπλάσιο του α και του β και συμβολίζεται με ΕΚΠ(α,β).

π.χ. Στο προηγούμενο παράδειγμα, το μικρότερο μη μηδενικό πολλαπλάσιο του 2 και του 5 είναι το 10. Οπότε ΕΚΠ(2,5)=10.

---

Διαιρέτες

Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν.

• Κάθε αριθμός α έχει διαιρέτες τους αριθμούς 1 και α.
•  Οι διαιρέτες έχουν πεπερασμένο  πλήθος.
•  Οι διαιρέτες ενός αριθμού είναι πάντα μικρότεροι ή ίσοι του αριθμού.

Πρώτος ονομάζεται ένας αριθμός (εκτός από το 1) που έχει διαιρέτες μόνο το 1 και τον εαυτό του.

π.χ. Οι αριθμοί 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 39, 41 κλπ  διαιρούνται μόνο από το 1 και τον εαυτό τους. Άρα είναι πρώτοι.

Σύνθετος ονομάζεται ένας αριθμός που δεν είναι πρώτος.

π.χ. Ο αριθμός 4, εκτός από το 1 και το 4, έχει διαιρέτη και τον αριθμό 2. Άρα δεν είναι πρώτος, αλλά σύνθετος.

Το 1 δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος.

Κοινοί διαιρέτες των α και β ονομάζονται οι αριθμοί που είναι συγχρόνως διαιρέτες του α και του β.

π.χ.

Δ6	1,2,3,6
Δ15	1,3,5,15

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης των α, β ονομάζεται ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες των α και β και συμβολίζεται με ΜΚΔ(α,β).

π.χ. Στο προηγούμενο παράδειγμα ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του 6 και του 15 είναι το 3. Οπότε ΜΚΔ(6,15)=3

• Δύο αριθμοί α και β ονομάζονται πρώτοι μεταξύ τους αν ισχύει ΜΚΔ(α,β)=1.

π.χ.

Δ6	1,2,3,6
Δ35	1,5,7,35

ΜΚΔ(6,35)=1 άρα οι αριθμοί 6 και 35 είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Προσοχή! Οι έννοιες "πρώτο αριθμοί" και "πρώτοι μεταξύ τους" είναι διαφορετικοί!

---

Κριτήρια Διαιρετότητας

Τα κριτήρια διαιρετότητας είναι πολύ χρήσιμα, καθώς μας βοηθούν να επιλέγουμε τους κατάλληλους διαιρέτες. Στο παρακάτω αρχείο υπάρχουν αναλυτικά τα κριτήρια διαιρετότητας, τα οποία έχουν χωριστεί σε 3 κατηγορίες για τη διευκόλυνσή σας.

Α.1.5 κριτήρια διαιρετότητας

---

Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Ανάλυση Αριθμού σε Γινόμενο Πρώτων Παραγόντων ονομάζεται η γραφή ενός φυσικού αριθμού ως γινόμενο πρώτων αριθμών.

Κάθε σύνθετος αριθμός μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κατά μοναδικό τρόπο.

Διαδικασία:

• Κάνουμε διαδοχικές διαιρέσεις.
• Σταματάμε όταν το τελευταίο πηλίκο είναι 1.

π.χ.

60	2
30	2
15	3
5	5
1

 

 

 

 

 

60 = 2 · 2 · 3 · 5

= 2² · 3 · 5

Εύρεση ΕΚΠ δύο ή περισσότερων αριθμών:

• Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
• Σχηματίζουμε το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων με το μεγαλύτερο από τους εκθέτες τους.

π.χ.  ΕΚΠ(486000, 151200)

486000= 2⁴ · 3⁵ · 5³

151200= 2⁵ · 3³ · 5² · 7

ΕΚΠ(486000, 151200) = 2⁵ · 3⁵ · 5³ · 7

Εύρεση ΜΚΔ δύο ή περισσότερων αριθμών:

• Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
• Σχηματίζουμε το γινόμενο των κοινών παραγόντων με το μικρότερο από τους εκθέτες τους.

π.χ.  ΜΚΔ(486000, 151200)

486000= 2⁴ · 3⁵ · 5³

151200= 2⁵ · 3³ · 5² · 7

ΜΚΔ(486000, 151200) = 2⁴ · 3³ · 5²

Προσοχή!

Στο Ελάχιστο Κ.Π. θέλουμε τη μεγαλύτερη δύναμη.

Στο Μέγιστο Κ.Π. θέλουμε τη μικρότερη δύναμη.

Α.1.1. Η έννοια της μεταβλητής – Αλγεβρικές Παραστάσεις

Καλώς ήρθατε στη χώρα των γραμμάτων!!!

Δικαίως θα αναρωτιέστε τώρα, τι σχέση έχουν τα γράμματα με τα μαθηματικά... Η απάντηση είναι ... μεγάλη! Είστε έτοιμοι για εξερεύνηση;;;

Το παρακάτω χιουμοριστικό βίντεο θα σας φέρει σε επαφή με το περιεχόμενο που θα διαπραγματευτούμε σε αυτήν την ενότητα.

Πηγή: daskalos98 (2011, Δεκέμβριος 2). Ο άγνΩστος Χ [Βίντεο]. YouTube. Ανακτήθηκε από https://www.youtube.com/watch?v=IgH06_8Nw6I

Ο πιο γνωστός άγνωστος στην ιστορία των μαθηματικών είναι ο άγνωστος x. Γιατί, όμως, συμβαίνει αυτό; Το παρακάτω βίντεο θα σας βοηθήσει να απαντήσετε σε αυτό το ερώτημα.

Πηγή: Ted. (2012, Ιούνιος 6). Why is 'x' the unknown?| Terry Moore [Video] YouTube. Ανακτήθηκε από https://www.youtube.com/watch?v=YX_OxBfsvbk

Τελικά, γιατί καθιερώθηκε ο άγνωστος x; Μπορείτε να μου γράψετε στα σχόλια τις απαντήσεις σας.

---

Η έννοια της μεταβλητής - Ορισμοί

Μεταβλητή είναι ένα γράμμα που παριστάνει οποιονδήποτε αριθμό. Η πιο γνωστή μεταβλητή είναι το x.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και άλλα γράμματα, λατινικά (x, y, z, t, ...) και ελληνικά (α, β, γ, ...).

Και γιατί συμβαίνει αυτό;

Μα φυσικά, γιατί τα μαθηματικά αποτελούν μια παγκόσμια γλώσσα! Για να καταλάβετε τι σημαίνει αυτό επισκεφτείτε τον παρακάτω σύνδεσμο Τα μαθηματικά, μια παγκόσμια γλώσσα.

---

Παραστάσεις

Αριθμητική Παράσταση είναι μια παράσταση που περιέχει πράξεις και αριθμούς.

Αλγεβρική Παράσταση είναι μια παράσταση που περιλαμβάνει πράξεις, αριθμούς και μεταβλητές.

Για να το καταλάβετε, παρατηρήστε τον παρακάτω πίνακα:

Αριθμητική Παράσταση	Αλγεβρική Παράσταση
Πράξεις	Πράξεις
Αριθμοί	Αριθμοί
	Μεταβλητές
Παραδείγματα
2•(5-4)+12:6	2(x-3)+4-2y

Αριθμητικές Παραστάσεις έχουμε μάθει ήδη να λύνουμε. Ήρθε η ώρα να μάθουμε και τις αλγεβρικές!

Η αλγεβρικές παραστάσεις λύνονται με.... αναγωγή ομοίων όρων!

Αναγωγή ομοίων όρων είναι η διαδικασία με την οποία γράφουμε σε απλούστερη μορφή της αλγεβρικές παραστάσεις.

Είμαι σίγουρη ότι ακόμα δεν καταλάβατε τίποτα! Πάμε να δούμε τι σημαίνει ο ορισμός αυτός...

Σε αυτό το σημείο πρέπει να κάνουμε μια αναδρομή στο χρυσό κανόνα της πρόσθεσης και της αφαίρεσης.

Ας πούμε ότι έχω 2 λεμόνια και 3 πορτοκάλια... Τι έχω;

Αν έχω 5 καρέκλες και 1 αυτοκίνητο, τι έχω;

Αν έχω 4 τετράδια και 3 φράουλες, τι έχω;

Όπως καταλαβαίνετε, ο χρυσός κανόνας της πρόσθεσης και της αφαίρεσης είναι:

"Προσθέτουμε ή αφαιρούμε μόνο ίδια "πράγματα" και το αποτέλεσμα βγαίνει το ίδιο "πράγμα". Αυτό που αλλάζει είναι η ποσότητα."

Δηλαδή, όταν έχω 5 πορτοκάλια και φάω τα 3 πορτοκάλια, θα μείνουν 2 πορτοκάλια.

Και θα με ρωτήσετε τώρα, τι σχέση έχουν τα λεμόνια, τα πορτοκάλια και οι μεταβλητές...

Σε αυτό το επίπεδο, θα ήθελα να σκέφτεστε ότι μια μεταβλητή αντιπροσωπεύει ένα μοναδικό φρούτο. Για παράδειγμα το x είναι η φράουλα, το y είναι τα πορτοκάλια.

• 2x + 3x σημαίνει 2 φράουλες + 3 φράουλες.

Όμως, 2 φράουλες + 3 φράουλες = 5 φράουλες, οπότε

2x + 3x = 5x

• 8y - 6y σημαίνει 8 πορτοκάλια - 6 πορτοκάλια

Όμως, 8 πορτοκάλια - 6 πορτοκάλια = 2 πορτοκάλια, δηλαδή

8y - 6y = 2y

Πάμε να δούμε κάτι λίγο πιο δύσκολο.

2x +5y +7x -3y, σημαίνει έχουμε 2 φράουλες + 5 πορτοκάλια + 7 φράουλες - 3 πορτοκάλια.

Όμως, 2 φράουλες + 5 πορτοκάλια + 7 φράουλες - 3 πορτοκάλια = 9 φράουλες + 2 πορτοκάλια, δηλαδή

2x +5y +7x -3y = 9x+2y

Ο αριθμός που βρίσκεται αριστερά της μεταβλητής ονομάζεται συντελεστής.

• Όταν μια μεταβλητή δεν έχει συντελεστή, κρύβεται το 1. Δηλαδή,

x = 1x

Παρατήρηση: Στις αλγεβρικές παραστάσεις, συνήθως δε βάζουμε το σύμβολο του πολλαπλασιασμού μεταξύ αριθμών - μεταβλητών και μεταξύ μεταβλητών. Δηλαδή,

αντί για 2•x, γράφουμε 2x

αντί για x•y, γράφουμε xy.

 

 

1.4 Ευκλείδεια διαίρεση

Τώρα αρχίζουν τα δύσκολα... Διαίρεση... η πράξη που έχει δεχτεί τη μεγαλύτερη απόρριψη παγκοσμίως!

Και ο λόγος;

Γιατί είναι μια δύσκολη πράξη.

Αλήθεια, υπάρχουν δύσκολες πράξεις;

Πάμε να το ανακαλύψουμε μαζί!

Η διαίρεση είναι μια πολύ χρήσιμη πράξη, καθώς μας βοηθάει όταν:

• θέλουμε να χωρίσουμε, μοιράσουμε, διαιρέσουμε μια ποσότητα
• γνωρίζουμε τα πολλά και θέλουμε να βρούμε το ένα.

Οι διαίρεση σχετίζεται με 4 βασικούς αριθμούς:

• Διαιρετέος (Δ): η ποσότητα που θέλουμε τα μοιράσουμε
• διαιρέτης (δ): το πλήθος που θέλουμε να την μοιράσουμε
• πηλίκο (π): το αποτέλεσμά της
• υπόλοιπο (υ):  το μέλος που μπορεί να μείνει.

Ας δούμε ένα παράδειγμα για να το καταλάβουμε.

Και ποια είναι η σχέση που συνδέει αυτούς τους αριθμούς;

Παρατηρούμε ότι:

2•17+1=34+1=35

Προσοχή! Το υπόλοιπο πρέπει να είναι μικρότερο από το διαιρέτη.

Μια τέτοια διαίρεση ονομάζεται Ευκλείδεια Διαίρεση.

Η σχέση Δ=δ•π+υ ονομάζεται ταυτότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης.

---

Τέλεια διαίρεση ονομάζεται η διαίρεση, στην οποία το υπόλοιπο είναι 0.

Τότε η ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης γίνεται Δ=δ•π.

Η τέλεια διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. Δηλαδή:

Δ=δ•π τότε Δ:δ=π ή Δ:π=δ

---

Αλγόριθμος της διαίρεσης

Πάμε να θυμηθούμε τη διαδικασία που μάθαμε στο δημοτικό:

Να δούμε, όμως, και τον αλγόριθμο αλλιώς;

Και ποιος θα μας βοηθήσει εδώ;

Μα φυσικά η πρόσθεση!

Τον αλγόριθμο μπορείτε να τον παρακολουθήσετε και στο σύνδεσμο Η διαίρεση αλλιώς.

 

Πηγή: Ευκλείδεια Διαίρεση , Κάθετη διαίρεση με μονοψήφιο διαιρέτη, ΚΑΘΕΤΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ , ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, teagher, Εκπαιδευτικό βίντεο από τo ΚΑΛΙΤΣΑ : https://mcjmcjmcj.wordpress.com​​/ , Άρθρο του μαθήματος:https://wp.me/PJcUD-8AP/

---

Ιδιότητες Διαίρεσης

• Ο διαιρέτης απαγορεύεται να είναι 0.

• Όταν Δ=δ, τότε π=1.

3:3=1

5:5=1

• Όταν δ=1, τότε π=Δ.

10:1=10

8:1=8

 

• Όταν Δ=0, τότε π=0.

0:5=0

0:100=0

 

1.2. Γωνία – Γραμμή – Επίπεδα σχήματα – Ευθύγραμμα σχήματα – Ίσα σχήματα

Πόσες φορές έχει τύχει να χτυπήσετε το πόδια σας στη γωνία κάποιου επίπλου... Αλήθεια ξέρετε τι είναι η γωνία;

Πάμε να ορίσουμε μαζί τη γωνία...

 

Αν σχεδιάσουμε δύο ημιευθείες Ox και Oy με κοινή αρχή το σημείο Ο, αυτές θα χωρίσουν το επίπεδο σε δύο περιοχές Π1 και Π2.

Κάθε μια από τις περιοχές αυτές μαζί με τις ημιευθείες Ox και Oy ονομάζεται γωνία.

 

 

 

 

Η "μικρότερη" (Π1) λέγεται κυρτή

και η άλλη (Π2) μη κυρτή.

 

 

 

 

 

Το σημείο Ο ονομάζεται κορυφή τηςγωνίας και οι ημιευθείες Ox και Oy λέγονται πλευρές της γωνίας.

 

 

Ονομασία:

Τρίγωνο:

• Κορυφές Τριγώνου

Α

Β

Γ

 

• Πλευρές τριγώνου

ΑΒ	γ
ΑΓ	β
ΒΓ	α

 

• Γωνίες τριγώνου

Περιεχόμενες γωνίες:

Δείτε τα παρακάτω σχήματα. Μπορείτε να καταλάβετε την έννοια της περιεχόμενης γωνίας;

Περιεχόμενη ονομάζεται η γωνία που βρίσκεται ανάμεσα σε δύο πλευρές.

Προσκείμενες γωνίες:

Προσκείμενες γωνίες ονομάζονται οι γωνίες του τριγώνου που έχουν μια κοινή πλευρά.

Απέναντι γωνίες ή απέναντι πλευρές:

Στο πρώτο σχήμα λέμε η γωνία Α είναι απέναντι από την πλευρά ΒΓ, αλλά μπορούμε να πούμε ότι και η πλευρά ΒΓ είναι απέναντι από τη γωνία Α. Ομοίως και στα άλλα.

Για πάμε τώρα να δούμε αν τα καταλάβαμε όλα αυτά με ένα .... quizz!!!

 https://create.kahoot.it/share/1-2/f2734867-c35c-46f5-bf7e-930b486870a3

---

Ευθύγραμμα Σχήματα

Στο σχολικό βιβλίο υπάρχουν 4 νέες έννοιες που απεικονίζονται σε αυτή τη φωτογραφία. Αυτές είναι:

• τεθλασμένη γραμμή
• ευθύγραμμο σχήμα
• κυρτή τεθλασμένη γραμμή ή κυρτό ευθύγραμμο σχήμα
• μη κυρτή τεθλασμένη γραμμή ή μη κυρτό ευθύγραμμο σχήμα.

Πάμε να τα δούμε ένα ένα ξεχωριστά ( ή και μαζί).

Τεθλασμένη γραμμή - Ευθύγραμμο σχήμα

• Τεθλασμένη γραμμή είναι το σχήμα που που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα, τα οποία δε βρίσκονται όλα στην ίδια ευθεία.
• Ευθύγραμμο σχήμα ονομάζεται κάθε τεθλασμένη γραμμή, της οποίας τα άκρα συμπίπτουν.

Κυρτό - Μη κυρτό

Για να καταλάβετε την έννοια της κυρτότητας παρακολουθήστε το παρακάτω βίντεο:

Πηγή :Schoolnet, (2015 Απρίλιος 1) Α Γυμνασίου-Μαθηματικά-Γωνία, Γραμμή, Επίπεδα σχήματα, Ευθύγραμμα σχήματα, Ίσα σχήματα.

Εναλλακτικά μπορείτε να δείτε το βίντεο

Πηγή: Μανεάδης Γ., (2022, Δεκέμβριος 17) Κυρτή και μη κυρτή τεθλασμένη γραμμή.

Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα:

Μια τεθλασμένη γραμμή ονομάζεται κυρτή, όταν η προέκταση κάθε πλευράς της αφήνει όλες τις άλλες πλευρές στο ίδιο ημιεπίπεδο. Διαφορετικά λέγεται μη κυρτή.

---

 

1.1  Σημείο – Ευθύγραμμο τμήμα – Ευθεία – Ημιευθεία – Επίπεδο – Ημιεπίπεδο

Πάμε να ξεκινήσουμε με τις βασικές γεωμετρικές έννοιες. Σε αυτό το μάθημα θα θέσουμε τα θεμέλια της γεωμετρίας. Ο φίλος μας σε αυτό το ταξίδι θα είναι ο χάρακας.

Ο χάρακας λέγεται και κανόνας.

Ξεκινάμε λοιπόν...

Σημείο

Σημείο είναι μια κουκκίδα.

Συμβολισμός: Κεφαλαίο γράμμα π.χ. Α, Β κλπ

Ευθεία

Ευθεία είναι μια γραμμή που δεν έχει ούτε αρχή, ούτε τέλος.

Συμβολισμός:

• ένα μικρό γράμμα π.χ. ε, δ κλπ
• το ίδιο μικρό γράμμα, το οποίο επαναλαμβάνεται 2 φορές, από τις οποίες τη μια θα έχει τόνο. π.χ. χ'χ, y'y.

 

Ημιευθεία

Ημιευθεία είναι μια γραμμή που έχει αρχή αλλά δεν έχει τέλος.

Συμβολισμός:

κεφαλαίο και μικρό γράμμα π.χ. Αχ, By κλπ

 

 

Ευθύγραμμο τμήμα

Ευθύγραμμο τμήμα είναι μια γραμμή που έχει και αρχή και τέλος.

Συμβολισμός:

δύο κεφαλαία γράμματα ΑΒ ή ΒΑ

 

 

Αντικείμενες Ημιευθείες

Αντικείμενες ημιευθείες ονομάζονται δύο ευθείες που:

• έχουν κοινή αρχή
• μαζί σχηματίζουν μια ευθεία

Συμβολισμός:

Οχ και Οχ'

 

Παρατηρήσεις:

• Αν έχετε ένα σημείο, πόσες ευθείες μπορείτε να σχεδιάσετε που να διέρχονται από αυτό;

Από ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες.

• Αν έχετε δύο σημεία, πόσες ευθείες μπορείτε να σχεδιάσετε, που να διέρχονται και από τα δύο;

Από δύο σημεία διέρχεται μόνο μια ευθεία.

Προσοχή! Σε κάθε άσκηση, κάθε γράμμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ΜΟΝΟ μια φορά!

Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες

---

Επίπεδο

Το επίπεδο είναι μια δύσκολη έννοια να την κατανοήσουμε χωρίς οπτική επαφή. Για το λόγο αυτό θα μεταβούμε στη σελίδα Επίπεδο και ιδιότητες  (του Χρήστου Γραμματικόπουλου) ώστε να εξερευνήσουμε μαζί όσα ακολουθούν στη θεωρία.

Επίπεδο είναι μια επιφάνεια, πάνω στην οποία εφαρμόζει παντού η ευθεία γραμμή.

• Ένα επίπεδο επεκτείνεται απεριόριστα.
• Από τρία μη συνευθειακά σημεία (είναι τα σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία) διέρχεται ένα μοναδικό επίπεδο.

Σημεία και επίπεδο

• Από ένα ή δύο σημεία διέρχονται άπειρα επίπεδα.
• Κάθε επίπεδο χωρίζει το χώρο σε δύο μέρη, ώστε, αν θέλουμε να περάσουμε από το ένα στο άλλο, πρέπει να διαπεράσουμε το επίπεδο.

• Η ονομασία του επιπέδου είναι ένα κεφαλαίο γράμμα. π.χ. Π

Ημιεπίπεδο

Κάθε ευθεία ενός επιπέδου το χωρίζει σε δύο μέρη που ονομάζονται ημιεπίπεδα.