1.5. Χαρακτήρες Διαιρετότητας – ΜΚΔ – ΕΚΠ – Ανάλυση Αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Πολλαπλάσια

Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς.

0, α, 2α, 3α, 4α, …

Πολλαπλάσια του 3

0 · 3 = 0

1 · 3 = 3

2 · 3 = 6

3 · 3 = 9

4 · 3 = 12

…

 

 

 

 

 

 

Με απλά λόγια είναι τα αποτελέσματα της προπαίδειας.

Ιδιότητες:

• Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του.

                         π.χ. Το 4 είναι πολλαπλάσιο του 2, οπότε το 2 διαιρεί το 4.

• Κάθε φυσικός που διαιρείται από έναν άλλο είναι πολλαπλάσιό του.

                          π.χ. Το 6 διαιρείται από το 3. Οπότε το 6 είναι πολλαπλάσιο του 3.

• Αν ένας φυσικός διαιρεί έναν άλλο, θα διαιρεί και τα πολλαπλάσιά του.

                           π.χ. Το 2 διαιρεί το 6. Το 12 είναι πολλαπλάσιο του 6. Άρα το 2 διαιρεί το 12.

• Τα πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι άπειρα.
• Με εξαίρεση το 0 και τον ίδιο τον αριθμό, όλα τα υπόλοιπα πολλαπλάσια είναι μεγαλύτερα από τον αριθμό.

Κοινά πολλαπλάσια του α και του β ονομάζονται οι αριθμοί που είναι συγχρόνως πολλαπλάσια του α και του β.

π.χ.

2	0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,…
5	0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,…

Οι αριθμοί 0,10,20,30 είναι πολλαπλάσια και του 2 και του 5, δηλαδή είναι τα κοινά τους πολλαπλάσια.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του α και του β ονομάζεται το μικρότερο μη μηδενικό κοινό πολλαπλάσιο του α και του β και συμβολίζεται με ΕΚΠ(α,β).

π.χ. Στο προηγούμενο παράδειγμα, το μικρότερο μη μηδενικό πολλαπλάσιο του 2 και του 5 είναι το 10. Οπότε ΕΚΠ(2,5)=10.

---

Διαιρέτες

Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν.

• Κάθε αριθμός α έχει διαιρέτες τους αριθμούς 1 και α.
•  Οι διαιρέτες έχουν πεπερασμένο  πλήθος.
•  Οι διαιρέτες ενός αριθμού είναι πάντα μικρότεροι ή ίσοι του αριθμού.

Πρώτος ονομάζεται ένας αριθμός (εκτός από το 1) που έχει διαιρέτες μόνο το 1 και τον εαυτό του.

π.χ. Οι αριθμοί 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 39, 41 κλπ  διαιρούνται μόνο από το 1 και τον εαυτό τους. Άρα είναι πρώτοι.

Σύνθετος ονομάζεται ένας αριθμός που δεν είναι πρώτος.

π.χ. Ο αριθμός 4, εκτός από το 1 και το 4, έχει διαιρέτη και τον αριθμό 2. Άρα δεν είναι πρώτος, αλλά σύνθετος.

Το 1 δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος.

Κοινοί διαιρέτες των α και β ονομάζονται οι αριθμοί που είναι συγχρόνως διαιρέτες του α και του β.

π.χ.

Δ6	1,2,3,6
Δ15	1,3,5,15

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης των α, β ονομάζεται ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες των α και β και συμβολίζεται με ΜΚΔ(α,β).

π.χ. Στο προηγούμενο παράδειγμα ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του 6 και του 15 είναι το 3. Οπότε ΜΚΔ(6,15)=3

• Δύο αριθμοί α και β ονομάζονται πρώτοι μεταξύ τους αν ισχύει ΜΚΔ(α,β)=1.

π.χ.

Δ6	1,2,3,6
Δ35	1,5,7,35

ΜΚΔ(6,35)=1 άρα οι αριθμοί 6 και 35 είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Προσοχή! Οι έννοιες "πρώτο αριθμοί" και "πρώτοι μεταξύ τους" είναι διαφορετικοί!

---

Κριτήρια Διαιρετότητας

Τα κριτήρια διαιρετότητας είναι πολύ χρήσιμα, καθώς μας βοηθούν να επιλέγουμε τους κατάλληλους διαιρέτες. Στο παρακάτω αρχείο υπάρχουν αναλυτικά τα κριτήρια διαιρετότητας, τα οποία έχουν χωριστεί σε 3 κατηγορίες για τη διευκόλυνσή σας.

Α.1.5 κριτήρια διαιρετότητας

---

Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Ανάλυση Αριθμού σε Γινόμενο Πρώτων Παραγόντων ονομάζεται η γραφή ενός φυσικού αριθμού ως γινόμενο πρώτων αριθμών.

Κάθε σύνθετος αριθμός μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κατά μοναδικό τρόπο.

Διαδικασία:

• Κάνουμε διαδοχικές διαιρέσεις.
• Σταματάμε όταν το τελευταίο πηλίκο είναι 1.

π.χ.

60	2
30	2
15	3
5	5
1

 

 

 

 

 

60 = 2 · 2 · 3 · 5

= 2² · 3 · 5

Εύρεση ΕΚΠ δύο ή περισσότερων αριθμών:

• Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
• Σχηματίζουμε το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων με το μεγαλύτερο από τους εκθέτες τους.

π.χ.  ΕΚΠ(486000, 151200)

486000= 2⁴ · 3⁵ · 5³

151200= 2⁵ · 3³ · 5² · 7

ΕΚΠ(486000, 151200) = 2⁵ · 3⁵ · 5³ · 7

Εύρεση ΜΚΔ δύο ή περισσότερων αριθμών:

• Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
• Σχηματίζουμε το γινόμενο των κοινών παραγόντων με το μικρότερο από τους εκθέτες τους.

π.χ.  ΜΚΔ(486000, 151200)

486000= 2⁴ · 3⁵ · 5³

151200= 2⁵ · 3³ · 5² · 7

ΜΚΔ(486000, 151200) = 2⁴ · 3³ · 5²

Προσοχή!

Στο Ελάχιστο Κ.Π. θέλουμε τη μεγαλύτερη δύναμη.

Στο Μέγιστο Κ.Π. θέλουμε τη μικρότερη δύναμη.