Polski

1.5. Χαρακτήρες Διαιρετότητας – ΜΚΔ – ΕΚΠ – Ανάλυση Αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Πολλαπλάσια

Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς.

0, α, 2α, 3α, 4α, …

Πολλαπλάσια του 3
0 · 3 = 0
1 · 3 = 3
2 · 3 = 6
3 · 3 = 9
 4 · 3 = 12

 

 

 

 

 

 

Με απλά λόγια είναι τα αποτελέσματα της προπαίδειας.

Ιδιότητες:

  • Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του.

                         π.χ. Το 4 είναι πολλαπλάσιο του 2, οπότε το 2 διαιρεί το 4.

  • Κάθε φυσικός που διαιρείται από έναν άλλο είναι πολλαπλάσιό του.

                          π.χ. Το 6 διαιρείται από το 3. Οπότε το 6 είναι πολλαπλάσιο του 3.

  • Αν ένας φυσικός διαιρεί έναν άλλο, θα διαιρεί και τα πολλαπλάσιά του.

                           π.χ. Το 2 διαιρεί το 6. Το 12 είναι πολλαπλάσιο του 6. Άρα το 2 διαιρεί το 12.

  • Τα πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι άπειρα.
  • Με εξαίρεση το 0 και τον ίδιο τον αριθμό, όλα τα υπόλοιπα πολλαπλάσια είναι μεγαλύτερα από τον αριθμό.

Κοινά πολλαπλάσια του α και του β ονομάζονται οι αριθμοί που είναι συγχρόνως πολλαπλάσια του α και του β.

π.χ.

2 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,…
5 0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,…

Οι αριθμοί 0,10,20,30 είναι πολλαπλάσια και του 2 και του 5, δηλαδή είναι τα κοινά τους πολλαπλάσια.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του α και του β ονομάζεται το μικρότερο μη μηδενικό κοινό πολλαπλάσιο του α και του β και συμβολίζεται με ΕΚΠ(α,β).

π.χ. Στο προηγούμενο παράδειγμα, το μικρότερο μη μηδενικό πολλαπλάσιο του 2 και του 5 είναι το 10. Οπότε ΕΚΠ(2,5)=10.


Διαιρέτες

Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν.

  • Κάθε αριθμός α έχει διαιρέτες τους αριθμούς 1 και α.
  •  Οι διαιρέτες έχουν πεπερασμένο  πλήθος.
  •  Οι διαιρέτες ενός αριθμού είναι πάντα μικρότεροι ή ίσοι του αριθμού.

Πρώτος ονομάζεται ένας αριθμός (εκτός από το 1) που έχει διαιρέτες μόνο το 1 και τον εαυτό του.

π.χ. Οι αριθμοί 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 39, 41 κλπ  διαιρούνται μόνο από το 1 και τον εαυτό τους. Άρα είναι πρώτοι.

Σύνθετος ονομάζεται ένας αριθμός που δεν είναι πρώτος.

π.χ. Ο αριθμός 4, εκτός από το 1 και το 4, έχει διαιρέτη και τον αριθμό 2. Άρα δεν είναι πρώτος, αλλά σύνθετος.

Το 1 δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος.

Κοινοί διαιρέτες των α και β ονομάζονται οι αριθμοί που είναι συγχρόνως διαιρέτες του α και του β.

π.χ.

Δ6 1,2,3,6
Δ15 1,3,5,15

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης των α, β ονομάζεται ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες των α και β και συμβολίζεται με ΜΚΔ(α,β).

π.χ. Στο προηγούμενο παράδειγμα ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του 6 και του 15 είναι το 3. Οπότε ΜΚΔ(6,15)=3

  • Δύο αριθμοί α και β ονομάζονται πρώτοι μεταξύ τους αν ισχύει ΜΚΔ(α,β)=1.

π.χ.

Δ6 1,2,3,6
Δ35 1,5,7,35

ΜΚΔ(6,35)=1 άρα οι αριθμοί 6 και 35 είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Προσοχή! Οι έννοιες "πρώτο αριθμοί" και "πρώτοι μεταξύ τους" είναι διαφορετικοί!


Κριτήρια Διαιρετότητας

Τα κριτήρια διαιρετότητας είναι πολύ χρήσιμα, καθώς μας βοηθούν να επιλέγουμε τους κατάλληλους διαιρέτες. Στο παρακάτω αρχείο υπάρχουν αναλυτικά τα κριτήρια διαιρετότητας, τα οποία έχουν χωριστεί σε 3 κατηγορίες για τη διευκόλυνσή σας.

Α.1.5 κριτήρια διαιρετότητας


Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Ανάλυση Αριθμού σε Γινόμενο Πρώτων Παραγόντων ονομάζεται η γραφή ενός φυσικού αριθμού ως γινόμενο πρώτων αριθμών.

Κάθε σύνθετος αριθμός μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κατά μοναδικό τρόπο.

Διαδικασία:

  • Κάνουμε διαδοχικές διαιρέσεις.
  • Σταματάμε όταν το τελευταίο πηλίκο είναι 1.

π.χ.

60 2
30 2
15 3
5 5

1

 

 

 

 

 

60 = 2 · 2 · 3 · 5

= 22 · 3 · 5

Εύρεση ΕΚΠ δύο ή περισσότερων αριθμών:

  • Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
  • Σχηματίζουμε το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων με το μεγαλύτερο από τους εκθέτες τους.

π.χ.  ΕΚΠ(486000, 151200)

486000= 24 · 35 · 53

151200= 25 · 33 · 52 · 7

ΕΚΠ(486000, 151200) = 25 · 35 · 53 · 7

Εύρεση ΜΚΔ δύο ή περισσότερων αριθμών:

  • Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
  • Σχηματίζουμε το γινόμενο των κοινών παραγόντων με το μικρότερο από τους εκθέτες τους.

π.χ.  ΜΚΔ(486000, 151200)

486000= 24 · 35 · 53

151200= 25 · 33 · 52 · 7

ΜΚΔ(486000, 151200) = 24 · 33 · 52

Προσοχή!

Στο Ελάχιστο Κ.Π. θέλουμε τη μεγαλύτερη δύναμη.

Στο Μέγιστο Κ.Π. θέλουμε τη μικρότερη δύναμη.

Dodaj komentarz