mathedu

Δυνάμεις Ρητών Αριθμών με εκθέτη φυσικό

Για πάμε να εξερευνήσουμε ένα δύσκολο κομμάτι των μαθηματικών... Σας θυμίζει κάτι το 2³;

Τις δυνάμεις τις έχουμε συναντήσει στο Δημοτικό και στην αρχή της Α' Γυμνασίου. Πάμε να θυμηθούμε, όμως, τι είναι οι δυνάμεις και τι γνωρίζουμε για αυτές. Ας δούμε πρώτα ένα παράδειγμα.

Δύναμη

Η γενική της μορφή είναι :

Υπενθύμιση:

• Η δύναμη α^ν διαβάζεται νιοστή δύναμη του α ή α στη ν.
• Η δύναμη α² διαβάζεται α στη δευτέρα ή α στο τετράγωνο ή τετράγωνο του α.
• Η δύναμη α³ διαβάζεται α στην τρίτη ή α στον κύβο ή κύβος του α.

Συχνό Λάθος:

Εδώ χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή, ώστε να μην υπολογίζετε τη δύναμη ως πολλαπλασιασμό. Δηλαδή:

2³=2•3=6   Αυτό είναι ΛΑΘΟΣ!!!! Το σωστό είναι: 2³=2•2•2=8.

Ιδιότητες Ορισμού:

• α¹=α
• 1^ν=1
• 0⁰ δεν ορίζεται
• α⁰=1 , όπου α≠0

Πρόσημο Δύναμης

Καλό το 2³ αλλά τι γίνεται με το -2³;

και όχι μόνο αυτό... Αλήθεια, τι θα κάνατε σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις;

Ο γενικός κανόνας υπολογισμού των δυνάμεων είναι ίδιος και στην περίπτωση που έχουμε πρόσημα. Αυτό που πρέπει να ξεχωρίσετε σε πρώτη φάση είναι πότε ο εκθέτης επηρεάζει το πρόσημο και πότε όχι, με άλλα λόγια ποια είναι η βάση της δύναμης.

 

 

εδώ η βάση της δύναμης είναι το 2, οπότε ο εκθέτης επηρεάζει μόνο το 2 και όχι το -.

 

 

 

εδώ η βάση της δύναμης είναι το 2, οπότε ο εκθέτης επηρεάζει μόνο το 2 και όχι το -.

 

εδώ η βάση της δύναμης είναι το -2, οπότε ο εκθέτης επηρεάζει και το πρόσημο και το 2.

 

 

 

 

εδώ η βάση της δύναμης είναι το 2, οπότε ο εκθέτης επηρεάζει μόνο το 2 και όχι το -.

 

 

• Όταν η βάση είναι θετικός αριθμός υπολογίζουμε τις δυνάμεις, όπως ήδη ξέρουμε, και το αποτέλεσμα βγαίνει πάντα θετικός αριθμός. Τι γίνεται, όμως, όταν η βάση είναι αρνητικός αριθμός;

Παρατηρείστε καλά τις παρακάτω φωτογραφίες και προσπαθήστε να καταλήξετε σε κάποιο συμπέρασμα.

Παρατηρούμε ότι όταν η βάση είναι αρνητικός αριθμός, το αποτέλεσμα δεν είναι πάντα αρνητικό. Μπορείτε να καταλάβετε πότε είναι θετικός και πότε αρνητικός αριθμός το αποτέλεσμα;

Το πρόσημο εξαρτάται από τον εκθέτη και συγκεκριμένα:

• όταν ο εκθέτης είναι άρτιος / ζυγός αριθμός (2, 4, 6,...) το αποτέλεσμα βγαίνει θετικός αριθμός
• όταν ο εκθέτης είναι περιττός / μονός αριθμός (1, 3, 5,...) το αποτέλεσμα βγαίνει αρνητικός αριθμός.

 

Δυνάμεις Ρητών με εκθέτη φυσικό αριθμό

 

 

Ιδιότητες Πράξεων

Ίδια βάση	Κανόνας	Παράδειγμα
Πολλαπλασιασμός	αν•αμ=αν+μ	23•25=23+5=28
Διαίρεση	αν:αμ=αν-μ	35:32=35-2=33
	αν/αμ=αν-μ	35/32=35-2=33
Ίδιος εκθέτης
Πολλαπλασιασμός	αν•βν=(α•β)ν	23•53=(2•5)3=103
Διαίρεση	αν:βν=(α:β)ν	103:53=(10:5)3=23
	αν/βν=(α/β)ν	103/53=(10/5)3=23
Δύναμη σε δύναμη	(αν)μ=αν•μ	(23)4=23•4=212

Παρατηρήσεις:

1. Οι ιδιότητες δυνάμεων ισχύουν μόνο στις πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Στην πρόσθεση και στην αφαίρεση ακολουθούμε την προτεραιότητα των πράξεων, όπως στο παράδειγμα 2³+2⁴=8+16=24.
2. Αυτό που είναι ίδιο (βάση ή εκθέτης) μένει ίδιο.
3.  Οι ιδιότητες δυνάμεων ισχύουν και αντίστροφα.
4.  Προσπαθήστε να ξεχωρίσετε την πρώτη και την τελευταία ιδιότητα!

 

 

Ασκήσεις στις Δυνάμεις με εκθέτη φυσικό αριθμό

 

Δεκαδική Μορφή Ρητών Αριθμών

Ήρθε η ώρα να κάνουμε μια μικρή αναφορά στους δεκαδικούς αριθμούς.

Ίσως οι δεκαδικοί αριθμοί να μην είναι οι αγαπημένοι μας, γιατί και αυτοί έχουν τους δικούς τους κανόνες. Ωστόσο, πρέπει να γνωρίζουμε ότι οι δεκαδικοί αριθμοί είναι και αυτοί αριθμοί και μπορεί να έχουν πρόσημα. Οι κανόνες των προσήμων συνδυάζονται με τους κανόνες των δεκαδικών.

Εδώ, όμως, δε θα ασχοληθούμε με αυτά, αλλά με μια ειδική περίπτωση των δεκαδικών αριθμών που ονομάζονται περιοδικοί αριθμοί.

Περιοδικοί Αριθμοί

Για να ρίξουμε μια ματιά στην παρακάτω εικόνα... Παρατηρείτε κάτι;

Για ρίξτε άλλη μια ματιά...

Νομίζω τώρα φαίνεται ξεκάθαρα ότι πρόκειται για δεκαδικούς αριθμούς με άπειρο πλήθος δεκαδικών, στους οποίους κάποια ψηφία επαναλαμβάνονται.

Περιοδικοί αριθμοί ονομάζονται οι δεκαδικοί αριθμοί με άπειρα δεκαδικά ψηφία, στους οποίους κάποια ψηφία επαναλαμβάνονται διαρκώς.

Το τμήμα των επαναλαμβανόμενων δεκαδικών ψηφίων κάθε περιοδικού αριθμού ονομάζεται περίοδος.

Συμβολισμός:

Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να έχει τη μορφή δεκαδικού αριθμού ή περιοδικού αριθμού και αντίστροφα.

Και πώς μπορεί ένας ρητός να γίνει δεκαδικός;

Εδώ πρέπει να θυμηθούμε ποια πράξη κρύβεται στα κλάσματα... Μα φυσικά η διαίρεση!

Και πώς μπορεί ένας δεκαδικός να γίνει ρητός;

Εδώ η διαδικασία είναι λίγο πιο δύσκολη. Πάμε να κάνουμε ένα παράδειγμα για να το καταλάβουμε.

Σε αυτό το σημείο μπορείτε να ασχοληθείτε με τις ασκήσεις 1, 2, 3 του σχολικού βιβλίου, που βρίσκονται στη σελίδα 136.

Διαίρεση Ρητών

Σε αυτό το σημείο έχω να σας πω ένα πολύ ευχάριστο νέο...η διαίρεση ακολουθεί τους ίδιους κανόνες προσήμων με τον πολλαπλασιασμό.

Για πάμε να δούμε, όμως, αν τους θυμόμαστε...

Προσοχή εδώ! Κάνουμε διαίρεση.

Άσκηση Αυτοαξιολόγησης στη Διαίρεση Ρητών

Ωστόσο, επειδή τη διαίρεση μπορούμε να τη δούμε και με τη μορφή κλάσματος, είναι καλό σε αυτό το σημείο να μιλήσουμε για το πρόσημο του κλάσματος.

Πρόσημο σε ένα κλάσμα μπορούμε να έχουμε:

• αριστερά από το κλάσμα
• στον αριθμητή
• στον παρονομαστή

Για να καταλάβετε τι λέμε, παρατηρείστε τα παρακάτω παραδείγματα.

Ωστόσο, το πρόσημο του κλάσματος πρέπει να είναι ένα και να βρίσκεται στα αριστερά του (μπροστά από την κλασματική γραμμή).

Για να υπολογίσουμε το πρόσημο του κλάσματος ακολουθούμε τον κανόνα των προσήμων στο γινόμενο πολλών παραγόντων.

Σε αυτό το σημείο μπορείτε να προσπαθήσετε να υπολογίσετε το πρόσημο των παραπάνω κλασμάτων και να συγκρίνετε τις απαντήσεις σας με τις εικόνες που ακολουθούν.

---

---

Τι λέτε... είστε έτοιμοι για ένα κουίζ???

Δραστηριότητα Αυτοαξιολόγησης στο Πρόσημο Κλασμάτων

Για πάμε να κάνουμε λίγο παραπάνω εξάσκηση...

Το παρακάτω φύλλο εργασιών περιλαμβάνει ασκήσεις πάνω στη διαίρεση, καθώς και μια συνδυαστική άσκηση, η οποία περιλαμβάνει όλες τις πράξεις.

Α.7.6.Διαίρεση Ρητών

 

Πολλαπλασιασμός Ρητών

Και αν τώρα νοιώθετε λίγο ανακουφισμένοι, ετοιμαστείτε να μπερδευτούμε ξανά...! Και αν αναρωτιέστε γιατί να συμβαίνει αυτό... η απάντηση είναι ... μα φυσικά γιατί ο πολλαπλασιασμός έχει διαφορετικούς κανόνες από την πρόσθεση και την αφαίρεση....

Θα το ξεπεράσουμε, όμως, μαζί και αυτό! Θυμηθείτε το παν στα μαθηματικά είναι η καλή διάθεση και η εξάσκηση!

Πάμε να ξεκινήσουμε και αυτό το ταξίδι με ένα παραμύθι...

Κόκκινη κλωστή δεμένη, στην ανέμη τυλιγμένη, δώσ' της κλώτσο να γυρίσει, παραμύθι ν' αρχινίσει.

Μαθηματικοί Έρωτες

Η παραπάνω ιστορία προσπαθεί να μας εξηγήσει τους κανόνες προσήμων που ισχύουν στον πολλαπλασιασμό, οι οποίες συνοψίζονται στην παρακάτω φωτογραφία.

Προσέξτε εδώ τη δύναμη που έχει το -. Όμως, η ένωση δύο - κάνουν ένα +!

Το ευχάριστο με τον πολλαπλασιασμό είναι ότι πρέπει να προσέξουμε μόνο το πρόσημο που θα επιλέξουμε και όχι την πράξη, καθώς κάνουμε πάντα πολλαπλασιασμό!

Αλήθεια παρατηρείτε κάτι περίεργο στη φωτογραφία; Για να σας βοηθήσω... γιατί υπάρχουν οι παρενθέσεις;

 

Σας υπενθυμίζω ότι τα σύμβολά των πράξεων είναι τσακωμένα μεταξύ τους, γι' αυτό δε θα τα δείτε ποτέ το ένα δίπλα στο άλλο. Το ρόλο του διαιτητή παίζει πάντα η παρένθεση!

Για να δούμε τώρα αν έχουμε καταλάβει πώς λειτουργεί ο πολλαπλασιασμός... Είστε έτοιμοι για ένα παιχνιδάκι?

Ο παρακάτω σύνδεσμος αποτελεί μια άσκηση αυτοαξιολόγησης πάνω στον πολλαπλασιασμό των ρητών με τη μορφή quiz. Καλή επιτυχία!

Άσκηση Αυτοαξιολόγησης στον Πολλαπλασιασμό

---

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού

Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού παραμένουν ίδιες. Συγκεκριμένα :

• Αντιμεταθετική ιδιότητα

α · β = β · α

• Προσεταιριστική Ιδιότητα

α · (β · γ)=(α · β) · γ

• Επιμεριστική Ιδιότητα

α · (β + γ) = α · β + α · γ

α · (β - γ) = α · β - α · γ

• Ουδέτερο στοιχείο είναι το 1.

α · 1 = 1 · α = 1

• Το γινόμενο ρητού με το 0 ισούται με 0.

0 · α = α · 0 = 0

---

Γινόμενο Πολλών Παραγόντων

• Αν ένας τουλάχιστον παράγοντας είναι  0, τότε και το γινόμενο είναι ίσο με 0.
• Αν όλοι οι παράγοντες είναι θετικοί, τότε το γινόμενο είναι θετικό.
• Αν υπάρχουν θετικοί και αρνητικοί παράγοντες, τότε πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και βάζουμε:
  • • Το πρόσημο +, αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο / ζυγό.
    • Το πρόσημο -, αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττό / μονό.

Για πάμε να δούμε αν τα έχουμε εμπεδώσει όλα αυτά...

Το παρακάτω φύλλο εργασιών περιλαμβάνει ασκήσεις στον πολλαπλασιασμό ρητών, καθώς και μια συνδυαστική άσκηση με την πρόσθεση και την αφαίρεση ρητών.

Α.7.5.Πολλαπλασιασμός Ρητών

1.1. Φυσικοί Αριθμοί – Διάταξη – Στρογγυλοποίηση

Οι φυσικοί αριθμοί (ή αριθμοί της φύσης για τους ρομαντικούς) είναι οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 10000, 10001, ...

Βασική ιδιότητα: Κάθε αριθμός έχει έναν προηγούμενο και έναν επόμενο αριθμό.

Κατηγορίες:

Άρτιοι ή Ζυγοί είναι οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται με το 2.

π.χ. 2, 4, 6,...

Περιττοί ή Μονοί είναι οι φυσικοί αριθμοί που ΔΕΝ διαιρούνται με το 2.

π.χ. 1, 3, 5, ...

Δεκαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Γνωρίζετε ότι μπορούμε να φτιάξουμε άπειρους αριθμούς, χρησιμοποιώντας μόνο 10 ψηφία;

Και όμως! Όλοι οι αριθμοί δημιουργούνται χρησιμοποιώντας τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

• Η αξία κάθε ψηφίου καθορίζεται από τη θέση που κατέχει.

Παρατηρήστε την παρακάτω φωτογραφία.

Το μοτίβο μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες επαναλαμβάνεται στις τάξεις των ψηφίων. Ωστόσο, μόνο την πρώτη φορά γράφονται σκέτα. Τα υπόλοιπα συνοδεύονται από τις χιλιάδες, εκατομμύρια, δισεκατομμύρια κλπ.

---

Στρογγυλοποίηση

Η στρογγυλοποίηση είναι μια έννοια που έχετε ασχοληθεί στο δημοτικό. Αλλά εμείς θα τη δούμε πάλι από την αρχή! Για πάμε να θυμηθούμε τους κανόνες μαζί!

Στην παρακάτω παρουσίαση περιγράφεται η έννοια της στρογγυλοποίησης, οι κανόνες, καθώς και παραδείγματα για εμπέδωση.

Στρογγυλοποίηση

Κεφάλαιο 1 – Φυσικοί Αριθμοί

Καλώς ήρθατε στον κόσμο των Φυσικών Αριθμών. Ο κόσμος αυτός είναι ιδιαίτερα γνώριμος για εσάς, καθώς τον γνωρίσατε και τον εξερευνήσατε στο Δημοτικό. Πάμε να κάνουμε ένα γρήγορο πέρασμα στα παλιά μας λημέρια και να αναπολήσουμε όμορφες στιγμές με τους φίλους μας τους αριθμούς, τς πράξεις, τη στρογγυλοποίηση, το ΕΚΠ, το ΜΚΔ κλπ.

Τα αναμενόμενα μαθησιακά αποτελέσματα από τη μελέτη της ενότητας αυτής είναι να:

• μπορείτε να κάνετε τις 4 πράξεις σωστά
• στρογγυλοποιείτε αριθμούς
• εφαρμόζετε την προτεραιότητα των πράξεων
• αναγνωρίζετε τα κριτήρια διαιρετότητας
• βρίσκετε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ αριθμών.

Καλή σας διασκέδαση!

---

1.1. Φυσικοί Αριθμοί - Διάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση

1.1. Φυσικοί Αριθμοί – Διάταξη – Στρογγυλοποίηση

---

1.2. Πρόσθεση, Αφαίρεση και Πολλαπλασιασμός Φυσικών Αριθμών

---

1.3. Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών – Προτεραιότητα Πράξεων

---

1.4. Ευκλείδεια Διαίρεση - Διαιρετότητα

1.4 Ευκλείδεια διαίρεση

---

1.5. Χαρακτήρες Διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση Αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Α.1.5. Χαρακτήρες Διαιρετότητας – ΜΚΔ – ΕΚΠ – Ανάλυση Αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Αφαίρεση Ρητών

 

 

Η αφαίρεση των ρητών βασίζεται στην πρόσθεση, καθώς όπως έχουμε αναφέρει, δεν καθορίζει το σύμβολο της πράξης την πράξη που θα κάνουμε, αλλά τα πρόσημα!

Υπάρχουν δύο τεχνικές που μπορούμε να ακολουθήσουμε στην αφαίρεση ρητών.

Προσθέτουμε στον Μειωτέο των αντίθετο του Αφαιρετέου.

π.χ.

- 2 - (+ 4) = - 2 + (- 4)= - 6

- 10 - (- 3) = - 10 + (+3) = - 7

Το παρακάτω φύλλο εργασιών περιλαμβάνει ασκήσεις για εξάσκηση πάνω στην απαλοιφή παρενθέσεων. Για πάμε...

Α.7.4.Αφαίρεση Ρητών

Κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων.

Τι είναι η Απαλοιφή Παρενθέσεων;

 

 

Απαλοιφή παρενθέσεων σημαίνει ότι διώχνουμε τις παρενθέσεις και τα σύμβολα των πράξεων, ώστε να έχουμε μόνο αριθμούς και πρόσημα και α ακολουθούμε τους κανόνες τις πρόσθεσης.

 

 

• όταν μπροστά από την παρένθεση δεν υπάρχει τίποτα ή υπάρχει το +, τότε φεύγει η παρένθεση μαζί με το + που βρίσκεται μπροστά της (αν υπάρχει) και αντιγράφουμε ό,τι υπάρχει μέσα στην παρένθεση.

π.χ.

+ (-2) = - 2

+ (+4) + (-2) = +4 -2

• όταν μπροστά από την παρένθεση υπάρχει -, τότε φεύγει η παρένθεση μαζί με το - που βρίσκεται μπροστά της και αντιγράφουμε ό,τι βρίσκεται μέσα στην παρένθεση με αλλαγμένα πρόσημα.

π.χ.

- (+4) = - 4

- (-8) - (-2) - (+3) = +8 +2 -3

και βέβαια, στις παραστάσεις, συνεχίζουμε  τις πράξεις, ακολουθώντας τους κανόνες της πρόσθεσης.

Πάμε να δούμε αν μπορούμε να εφαρμόσουμε αυτά που μάθαμε στην πράξη...

Το παρακάτω φύλλο εργασιών περιλαμβάνει ασκήσεις για εξάσκηση πάνω στην απαλοιφή παρενθέσεων. Για πάμε...

Α.7.4. Απαλοιφή Παρενθέσεων

---

Πριν προχωρήσετε στις παρακάτω ενότητες, βεβαιωθείτε ότι έχετε κατανοήσει πλήρως την πρόσθεση και την αφαίρεση ρητών αριθμών, καθώς ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση έχουν άλλους κανόνες! Γι' αυτό θα ήταν καλό σε αυτό το σημείο να κάνετε μια μικρή επανάληψη!

Προκειμένου να αξιολογήσετε το βαθμό που έχετε κατανοήσει αυτές της έννοιες, μπορείτε να κάνετε την παρακάτω Δραστηριότητα Αυτοαξιολόγησης.

Δραστηριότητα Αυτοαξιολόγησης

 

Πρόσθεση Ρητών

 

Τώρα αρχίζουν τα δύσκολα... Στο Δημοτικό είχαμε μάθει ότι το + είναι το σύμβολο της πρόσθεσης και το - είναι το σύμβολο της αφαίρεσης.  Όμως, το + και το - εκτός από σύμβολα πράξεων είναι και πρόσημα... Πώς θα μπορέσω να τα ξεχωρίσω εγώ;;;

 

Όταν το + ή το - βρίσκεται αριστερά από τον αριθμό είναι πάντα πρόσημο!

 

Για παράδειγμα

+ 5 - 3

- 10 + 2

4 - 8      (Υπενθύμιση! Μπροστά από το 4 κρύβεται το πρόσημο +.)

Ωραία μέχρι εδώ... Μπορεί, όμως, να δούμε και αυτό...

-2 + (+4)

-5 + (-12)

 

Δε χρειάζεται πανικός... όπως είπαμε τα + και - που βρίσκονται αριστερά του αριθμού είναι τα πρόσημα (ροζ χρώμα).

-2 + (+4)

-5 + (-12)

Και τα + που μένουν τι είναι;

Το σύμβολο της πράξης (πορτοκαλί χρώμα)!

-2 + (+4)

-5 + (-12)

Α! Ωραία! Εύκολο και αυτό! Τώρα θα κάνω πρόσθεση, αλλά ποιο πρόσημο θα επιλέξω...;

Και τώρα αρχίζουν τα ωραία... Δεν είναι το σύμβολο της πράξης που καθορίζει την πράξη που θα κάνω, αλλά τα πρόσημα!!!!!

Πριν ξεκινήσει ο πανικός, ας δούμε μια ιστορία για ιππότες και δράκους.

Το παρακάτω διαδραστικό βίντεο αποτελεί μια ενδιαφέρουσα εισαγωγή στις πράξεις με ρητούς αριθμούς. Μέσα από ένα ευχάριστο,  δημιουργικό και διαδραστικό τρόπο επιδιώκεται η κατανόηση, η εκμάθηση και η εφαρμογή του τρόπου που κάνουμε πράξεις με ρητούς αριθμούς.

Οδηγίες:

Στα κενά που εμφανίζονται πρέπει να συμπληρώσετε αριθμό και χρώμα. Για παράδειγμα "2 κόκκινοι", "3 μπλε", "κανένας" κλπ.

Καλή σας απόλαυση...

Σίγουρα οι ρητοί ήρθαν να αναστατώσουν τη "μαθηματική ζωή" μας. Ωστόσο, δεν πρέπει να το βάζουμε κάτω! Έτσι και αλλιώς τα μαθηματικά είναι θέμα εξάσκησης.

Το παρακάτω φύλλο εργασιών περιλαμβάνει ασκήσεις για εξάσκηση πάνω στην πρόσθεση των ρητών. Αφοπλιστείτε με υπομονή και πάμε!!!

Α.7.3.Πρόσθεση Ρητών

 

 

 

 

 

Κεφάλαιο 7 – Ρητοί Αριθμοί

Καλώς ήρθατε στον κόσμο των ρητών! Πρόκειται για ένα πολύ ιδιαίτερο ταξίδι, καθώς αυτή η νέα έννοια θα ανατρέψει κάποιες αρχές που είχαμε μάθει στο Δημοτικό.

Κάποιες φορές μπορεί να μπερδέψουμε το δρόμο μας ή να δυσκολευτούμε, αλλά δεν θα το βάλουμε κάτω! Αργά ή γρήγορα θα βρούμε το σωστό μονοπάτι που θα μας οδηγήσει στο δρόμο της επιτυχίας των μαθηματικών!

Τα αναμενόμενα μαθησιακά αποτελέσματα, μετά τη μελέτη της ενότητας είναι:

• να αναγνωρίζετε τους ρητούς αριθμούς και να τους διακρίνετε σε επιμέρους κατηγορίες (θετικοί, αρνητικοί, ομόσημοι, ετερόσημοι, αντίθετοι)
• να τοποθετείτε τους ρητούς στην ευθεία των πραγματικών αριθμών
• να συγκρίνετε ρητούς αριθμούς
• να κάνετε πράξεις με ρητούς αριθμούς.

Καλό ταξίδι !!!

---

7.1  Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί (Ρητοί αριθμοί) – Η ευθεία των ρητών –Τετμημένη σημείου

---

7.2  Απόλυτη τιμή ρητού – Αντίθετοι ρητοί – Σύγκριση ρητών

---

7.3  Πρόσθεση ρητών αριθμών

Πρόσθεση Ρητών Αριθμών

---

7.4  Αφαίρεση ρητών αριθμών

Αφαίρεση Ρητών

---

7.5  Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών

Πολλαπλασιασμός Ρητών

---

7.6  Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαίρεση Ρητών

---

7.7 Δεκαδική Μορφή Ρητών Αριθμών

Δεκαδική Μορφή Ρητών Αριθμών

---

7.8. Δυνάμεις Ρητών Αριθμών με εκθέτη φυσικό

Δυνάμεις Ρητών Αριθμών με εκθέτη φυσικό

---

7.9. Δυνάμεις Ρητών Αριθμών με εκθέτη ακέραιο

Δυνάμεις Ρητών Αριθμών με εκθέτη ακέραιο

Διδακτέα Ύλη Μαθηματικών Β’ Γυμνασίου

Α΄Μέρος - ΆΛΓΕΒΡΑ

 

Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου:

 

Κεφ. 7^ο: Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί

7.7  Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών

7.8  Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

7.9  Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο

 

 

Από το βιβλίο «Μαθηματικά Β΄ Γυμνασίου» των Παναγιώτη Βλάμου, Παναγιώτη Δρούτσα, Γεωργίου Πρέσβη, Κωνσταντίνου Ρεκούμη:

 

Κεφ. 1^ο: Εξισώσεις - Ανισώσεις

1.1  Η έννοια της μεταβλητής – Αλγεβρικές παραστάσεις

1.2  Εξισώσεις α’ βαθμού

1.4  Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων

Κεφ. 2^ο: Πραγματικοί Αριθμοί

2.1  Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού

2.2  Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί

2.3  Προβλήματα

Κεφ. 3^ο: Συναρτήσεις

3.1  Η έννοια της συνάρτησης

3.2 Καρτεσιανές συντεταγμένες – Γραφική παράσταση συνάρτησης (χωρίς τις εφαρμογές 2 και 3).

3.3  Η συνάρτηση y=αx

3.4  Η συνάρτηση y=αx+β ( χωρίς τις υποπαραγράφους: «Η εξίσωση της μορφής «αx+βy=γ» και «Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες»).

3.5  Η συνάρτηση  y=α/x – Η υπερβολή

Κεφ. 4^ο: Περιγραφική Στατιστική

4.1  Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός – Δείγμα

4.2  Γραφικές Παραστάσεις

4.5 Μέση τιμή – Διάμεσος (χωρίς την υποπαράγραφο: “Μέση τιμή ομαδοποιημένης κατανομής“)

Β' Μέρος - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Κεφ. 1^ο: Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων – Πυθαγόρειο Θεώρημα

1.1  Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας

1.2  Μονάδες μέτρησης επιφανειών

1.3  Εμβαδά επίπεδων σχημάτων

1.4  Πυθαγόρειο θεώρημα

Κεφ. 2^ο: Τριγωνομετρία – Διανύσματα

2.1 Εφαπτομένη οξείας γωνίας

2.2 Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας ( χωρίς την παρατήρηση β της σελίδας 143 )

Κεφ. 3^ο: Μέτρηση Κύκλου

3.1 Εγγεγραμμένες γωνίες

3.2 Κανονικά πολύγωνα

3.3 Μήκος κύκλου

3.5 Εμβαδόν κυκλικού δίσκου

Κεφ. 4^ο: Γεωμετρικά Στερεά – Μέτρηση Στερεών

4.2 Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου

4.3 Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου

4.4 Η πυραμίδα και τα στοιχεία της

4.6 Η σφαίρα και τα στοιχεία της