mathedu

Διδακτέα Ύλη Μαθηματικών Α‘ Γυμνασίου

 

 

Από το βιβλίο "Μαθηματικά Α΄Γυμνασίου" των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη και Σπύρου Φερεντίνου.

 

Α' Μέρος- ΆΛΓΕΒΡΑ

Κεφ. 1^ο: Οι φυσικοί αριθμοί

1.1 Φυσικοί αριθμοί – Διάταξη Φυσικών – Στρογγυλοποίηση

1.2 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

1.3 Δυνάμεις φυσικών αριθμών

1.4 Ευκλείδεια διαίρεση – Διαιρετότητα

1.5 Χαρακτήρες διαιρετότητας – Μ.Κ.Δ. – Ε.Κ.Π. – Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων
παραγόντων

Κεφ. 2^ο: Τα κλάσματα  

2.1  Η έννοια του κλάσματος

2.2   Ισοδύναμα κλάσματα

2.3  Σύγκριση κλασμάτων

2.4  Πρόσθεση και Αφαίρεση κλασμάτων

2.5  Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

2.6  Διαίρεση κλασμάτων

Κεφ. 3^ο: Δεκαδικοί αριθμοί

3.1 Δεκαδικά κλάσματα, Δεκαδικοί αριθμοί, Διάταξη δεκαδικών αριθμών, Στρογγυλοποίηση

3.5  Μονάδες μέτρησης

Κεφ. 4^ο: Εξισώσεις και προβλήματα

4.1  Η έννοια της εξίσωσης – Οι εξισώσεις: α+x=β , x-α=β , α-x=β , αx=β, α:x=β και x:α=β (χωρίς τις έννοιες της ταυτότητας και της αδύνατης εξίσωσης )

4.2  Επίλυση προβλημάτων

4.3 Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Κεφ. 5^ο: Ποσοστά

5.1  Ποσοστά

5.2  Προβλήματα με ποσοστά

Κεφ. 7^ο: Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί

7.1  Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί (Ρητοί αριθμοί) – Η ευθεία των ρητών –Τετμημένη σημείου

7.2  Απόλυτη τιμή ρητού – Αντίθετοι ρητοί – Σύγκριση ρητών

7.3  Πρόσθεση ρητών αριθμών

7.4  Αφαίρεση ρητών αριθμών

7.5  Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών

7.6  Διαίρεση ρητών αριθμών

Β΄ Μέρος - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Κεφ. 1^ο: Βασικές γεωμετρικές έννοιες

1.1  Σημείο – Ευθύγραμμο τμήμα – Ευθεία – Ημιευθεία – Επίπεδο – Ημιεπίπεδο

1.2  Γωνία – Γραμμή – Επίπεδα σχήματα – Ευθύγραμμα σχήματα – Ίσα σχήματα

1.3  Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα ευθυγράμμων τμημάτων – Απόσταση σημείων – Μέσο ευθυγράμμου τμήματος

1.4  Πρόσθεση και αφαίρεση ευθυγράμμων τμημάτων

1.5  Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών – Διχοτόμος γωνίας

1.6  Είδη γωνιών – Κάθετες ευθείες

1.7  Εφεξής και διαδοχικές γωνίες – Άθροισμα γωνιών

1.8  Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες – Κατακορυφήν γωνίες

1.9  Θέσεις ευθειών στο επίπεδο

1.10  Απόσταση σημείου από ευθεία – Απόσταση παραλλήλων

1.11  Κύκλος και στοιχεία του κύκλου

1.12 Επίκεντρη γωνία

1.13  Θέσεις ευθείας και κύκλου

Κεφ. 2^ο: Συμμετρία

2.1  Συμμετρία ως προς άξονα

2.2  Άξονας συμμετρίας

2.3  Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος

2.4  Συμμετρία ως προς σημείο

2.5  Κέντρο συμμετρίας

2.6  Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μία άλλη ευθεία

Κεφ. 3^ο: Τρίγωνα – Παραλληλόγραμμα – Τραπέζια

3.1  Στοιχεία τριγώνου – Είδη τριγώνων

3.2  Άθροισμα γωνιών τριγώνου – Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου

3.3  Παραλληλόγραμμο – Ορθογώνιο – Ρόμβος – Τετράγωνο – Τραπέζιο – Ισοσκελές τραπέζιο

3.4  Ιδιότητες Παραλληλογράμμου – Ορθογωνίου – Ρόμβου – Τετραγώνου – Τραπεζίου – Ισοσκελούς τραπεζίου

Προβλήματα με Εξισώσεις

Τα προβλήματα αποτελούν πάντα το μεγαλύτερο πρόβλημα στα μαθηματικά! Οι δυσκολίες που προκύπτουν σχετίζονται, κυρίως, με την κωδικοποίηση του προβλήματος, δηλαδή τη μετάφρασή του σε μαθηματική ορολογία. Για το λόγο αυτό, για να προχωρήσουμε στην ενότητα αυτή, πρέπει να έχουμε κατανοήσει καλά τις ενότητες:

• Τα Μαθηματικά, μια παγκόσμια γλώσσα
• Η έννοια της εξίσωσης

που περιγράφτηκαν στην Ενότητα 4.1.

---

Βήματα για την Επίλυση Προβλημάτων με τη χρήση Εξισώσεων

Η διαδικασία επίλυσης προβλημάτων θα γίνει σίγουρα πιο εύκολη, αν ακολουθήσετε τα παρακάτω βήματα:

• Διαβάζουμε καλά το πρόβλημα, όσες φορές χρειαστεί, μέχρι να το κατανοήσουμε. Ποτέ δε ξεκινάμε να λύσουμε ένα πρόβλημα, αν δεν το έχουμε κατανοήσει πλήρως!
• Προσδιορίζουμε το ζητούμενο του προβλήματος και το εκφράζουμε με μια μεταβλητή (συνήθως το x). Αν το πρόβλημα έχει περισσότερα από ένα ζητούμενα επιλέγουμε αυτό που θα συμβολίσουμε με x.
• Εκφράζουμε όλα τα στοιχεία του προβλήματος με τη βοήθεια της μεταβλητής. Σε αυτό το βήμα πρέπει να ξέρουμε να κάνουμε καλή μετάφραση - κωδικοποίηση.
• Σχηματίζουμε μια εξίσωση από τα δεδομένα του προβλήματος.
• Επιλύουμε την εξίσωση του προβλήματος. Σε αυτό το βήμα πρέπει να γνωρίζουμε να λύνουμε τις εξισώσεις διαισθητικά.
• Επαληθεύουμε τη λύση που βρήκαμε. Σε πρώτη φάση πρέπει να ελέγξουμε αν η απάντηση που βρήκαμε είναι λογική (π.χ. δε μπορεί η ηλικία της μαμάς να είναι 20 και του παιδιού 45!) και στη συνέχεια να κάνουμε αντικατάσταση της τιμής που βρήκαμε στην αρχική για να δούμε αν την επαληθεύει.

---

Νομίζω ότι όλα φαίνονται ωραία και κατανοητά, αλλά σίγουρα έχετε την απορία "Πώς εφαρμόζονται όλα αυτά στην πράξη;"

Για να κατανοήσετε τη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων με εξισώσεις παρακολουθήστε τα παρακάτω βίντεο. Πρόκειται για δύο παραδείγματα που δείχνουν όλη τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος με εξισώσεις.

Παράδειγμα 1

Πηγή: PublicSchooltv (2012, Φεβρουάριος 22). 4.2 Επίλυση προβλημάτΩν Παράδειγμα 1 α' γυμνασίου [βίντεο]. YouTube. Ανακτήθηκε από https://www.youtube.com/watch?v=cXN1MT-j7-g

Πάμε να κάνουμε και το αντίστροφο; Δηλαδή, αν μου δώσουν μια εξίσωση, μπορώ να φτιάξω ένα δικό μου πρόβλημα και να το λύσω;

Παράδειγμα 2

Πηγή: PublicSchooltv (2012, Φεβρουάριος 22). 4.2 Επίλυση προβλημάτΩν Παράδειγμα 2 α' γυμνασίου [βίντεο]. YouTube. Ανακτήθηκε από https://www.youtube.com/watch?v=cXN1MT-j7-g

Παρατήρηση:

Στα δύο παραδείγματα, μήπως διαπιστώσατε να λείπει κάποιο βήμα από τη διαδικασία επίλυσης;

Είναι το τελευταίο, η επαλήθευση.

Αυτό συμβαίνει για δύο λόγους:

• η επαλήθευση μπορεί να γίνει με το μυαλό και δεν είναι υποχρεωτικό να φαίνεται στη διαδικασία
• δεν κάνουμε επαλήθευση.

Αν και η επαλήθευση δεν είναι υποχρεωτική (εκτός και αν το ζητάει η άσκηση), πρέπει να γίνεται, καθώς είναι εκείνη που θα μας κατευθύνει να συνειδητοποιήσουμε την ύπαρξη λάθους, να το εντοπίσουμε και να το διορθώσουμε.

Γράψτε μου στα σχόλια, εσείς μέχρι τώρα κάνατε επαλήθευση στα προβλήματα;

Τώρα πλέον είμαστε έτοιμοι να λύσουμε τα δικά μας προβλήματα! Προσπαθήστε να λύσετε τα Προβλήματα 1, 2, 3, 5, 6 και 7 από το Σχολικό Βιβλίο Α' Γυμνασίου στο κεφάλαιο 4.3.

---

Σχόλιο

Δυστυχώς τα προβλήματα στα μαθηματικά αποτελούσαν και συνεχίζουν να αποτελούν το μεγαλύτερο εφιάλτη των μαθητών. Το πιο συνηθισμένο ερώτημα των μαθητών, όταν μαθαίνουν ένα νέο εργαλείο, είναι: "Και που θα μου χρειαστεί εμένα αυτό;". Η απάντηση, λοιπόν, είναι ότι όλα τα μαθηματικά εργαλεία τα χρησιμοποιούμε για να λύνουμε προβλήματα (όχ μόνο οικονομικά). Και είναι σημαντικό να μάθουμενα λύνουμε προβλήματα, καθώς όλη μας η ζωή είναι γεμάτη από αυτά.

Είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσετε τη σπουδαιότητα των μαθηματικών προβλημάτων. Μόνο έτσι θα θελήσετε να ασχοληθείτε πραγματικά μαζί τους, θα μπείτε στον κόσμο τους και θα αφεθείτε στη μαγεία τους. Για το σκοπό αυτό, αφιερώστε λίγο χρόνο να καταγράψετε την άποψή σας για τα μαθηματικά προβλήματα, καθώς και να διαβάσετε τις απόψεις των υπόλοιπων συμμετεχόντων στον εξής σύνδεσμο Σημασία Μαθηματικών Προβλημάτων.

Αφοπλιστείτε με υπομονή και πάμε να κατανοήσουμε τον κόσμο!!!

 

Καλώς ήρθατε στο ιστολόγιό μου!

Το παρόν ιστολόγιο δημιουργήθηκε από την εκπαιδευτικό Ευσταθία Φακουρέλη, η οποία διδάσκει μαθηματικά στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Σκοπός του είναι η υποστήριξη μαθητών, εκπαιδευτικών και όσων ενδιαφέρονται για τα μαθηματικά, καθώς και η επικοινωνία έξω από το σχολικό πλαίσιο. Το ιστολόγιο περιλαμβάνει πλούσιο υλικό, που αποσκοπεί στην επεξήγηση της θεωρίας, επιπλέον ασκήσεις για εξάσκηση και αφομοίωση της διδαχθείσας ύλης και διαγωνίσματα για την αξιολόγηση της μαθησιακής πορείας. Παράλληλα, περιέχει συνδέσεις, πολυμέσα και στοιχεία, που σχετίζονται άμεσα με τα μαθηματικά. Το περιεχόμενο ανανεώνεται τακτικά από τη δημιουργό.

Με την προσπάθεια αυτή επιχειρείται να δημιουργηθεί ένα χρήσιμο εργαλείο, το οποίο θα παρέχει κίνητρα στους μαθητές για ενεργό συμμετοχή στην μαθησιακή διαδικασία, αλλά και όσους ενδιαφέρονται για τα μαθηματικά.  Στόχος είναι να αυξηθεί το ενδιαφέρον των μαθητών για τα μαθηματικά και να ενισχυθεί η υπευθυνότητα τους μέσα από μαθητοκεντρικές προσεγγίσεις.  Οι μαθητές καλούνται να οικοδομήσουν τη νέα γνώση μέσα από ενεργητικές μορφές διδασκαλίας. Τέλος, επιδιώκεται η αναθεώρηση του ρόλου της εκπαιδευτικής κοινότητας και η αναπροσαρμογή της στις απαιτήσεις του 21^ου αιώνα.

Η έννοια της εξίσωσης

Πηγή: δάσκαλος98 (2021). Πρόβλημα με πορτοκάλια. Ανακτήθηκε στις 3/12/2023 από https://podilato98.blogspot.com/2014/01/provlima-me-portokalia-arkas.html 

Μόλις προσγειωθήκατε στον κόσμο της εξίσωσης! Σε αυτό το ταξίδι θα προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε την έννοια της εξίσωσης και να βρίσκουμε τη λύση της διαισθητικά.

Η έννοια της Εξίσωσης

Εξίσωση ονομάζεται μια ισότητα που περιλαμβάνει αριθμούς και μια μεταβλητή.

Παραδείγματα Εξισώσεων:

x+2=5

3x-4=8

Λύση ή Ρίζα μιας εξίσωσης ονομάζεται ο αριθμός, που όταν αντικαταστήσει τη μεταβλητή, επαληθεύει την εξίσωση.

Επίλυση μιας εξίσωσης ονομάζεται η διαδικασία που ακολουθούμε για να λύσουμε μια εξίσωση.

Επίλυση της Εξίσωσης διαισθητικά

Παρατηρήστε την παρακάτω εικόνα.

Ποιον αριθμό πιστεύετε ότι πρέπει να βάλουμε στη θέση του x για να ισορροπήσει η ζυγαριά;

Αν και εσείς σκεφτήκατε το 2, σημαίνει ότι είμαστε σε πολύ καλό δρόμο!

Για να κατανοήσετε τη σχέση που έχει η εξίσωση με μια ζυγαριά, ακολουθείστε τον παρακάτω σύνδεσμο: Η ζυγαριά και η έννοια της εξίσωσης από το Φωτόδεντρο.

Πηγή: Παπανδρέου, Σ. & Τζούμας, Μ. (2018). Η ζυγαριά και η έννοια της εξίσωσης. Ανακτήθηκε στις 3/12/2023 από https://photodentro.edu.gr/v/item/ds/8521/2251

Ήρθε η ώρα να δούμε αν πετύχαμε το σκοπό μας. Πατήστε στον παρακάτω σύνδεσμο για να αξιολογήσετε τη γνώση που έχετε αποκτήσει.

Δραστηριότητα Αντιστοίχισης

Πηγή: Hakis28 (χ.χ.). Εξισώσεις πρώτου βαθμού. Ανακτήθηκε στις 3/12/2023 από https://wordwall.net/el/resource/31567381/%CE%B5%CE%BE%CE%B9%CF%83%CF%8E%CF%83%CE%B5%CE%B9%CF%82-%CF%80%CF%81%CF%8E%CF%84%CE%BF%CF%85-%CE%B2%CE%B1%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CF%8D

Τα μαθηματικά, μια παγκόσμια γλώσσα

Πηγή: Η Μουσική των Μαθηματικών (2018). Ηλεκτρονικό Μαθηματικό Περιοδικό του Μουσικού Σχολείου Καρδίτσας. Ανακτήθηκε στις 3/12/2023 από https://schoolpress.sch.gr/schoolmath/?p=59

Τα μαθηματικά αποτελούν μια παγκόσμια γλώσσα, στην οποία οι λέξεις αντικαθιστώνται από αριθμούς και μεταβλητές, ενώ τα ρήματα με σύμβολα.

Το παρακάτω φύλλο εργασιών επεξηγεί τη σχέση μεταξύ των λεκτικών προτάσεων και των μαθηματικών σχέσεων. Επίσης, περιλαμβάνει δύο δραστηριότητες για εξάσκηση, οι οποίες αποσκοπούν στη βαθύτερη κατανόηση και κατάκτηση της γνώσης.

Τα μαθηματικά, μια παγκόσμια γλώσσα

Στον παρακάτω σύνδεσμο μπορείτε να  βρείτε ενδεικτικές απαντήσεις στο φύλλο εργασιών. Σε περίπτωση που οι απαντήσεις σας αποκλείνουν από τις ενδεικτικές, μπορείτε να αναφέρετε την απάντησή σας στα σχόλια.

Τα μαθηματικά, μια παγκόσμια γλώσσα- Απαντήσεις των ασκήσεων

Σε αυτό το σημείο μπορείτε να ανατρέξετε στο σχολικό βιβλίο Α’ Γυμνασίου, στο Κεφάλαιο Α.4.1. Η έννοια της εξίσωσης και να πραγματοποιήσετε τη Δραστηριότητα 1 και τις Ασκήσεις 1 και 2.

---

Οδηγός περαιτέρω μελέτης:

Αν ακόμα έχετε μείνει με την απορία, γιατί τα μαθηματικά είναι μια παγκόσμια γλώσσα,  μπορείτε να επισκεφτείτε τον ακόλουθο σύνδεσμο Γιατί τα Μαθηματικά είναι μια Γλώσσα και να διαβάσετε το σχετικό άρθρο της Anne Marie Helmenstine.

Πηγή: Helmenstine, A.M. (χ.χ.) "Γιατί τα Μαθηματικά είναι μια Γλώσσα". Ανακτήθηκε από https://el.eferrit.com/%CE%B3%CE%B9%CE%B1%CF%84%CE%AF-%CF%84%CE%B1-%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC-%CE%B5%CE%AF%CE%BD%CE%B1%CE%B9-%CE%BC%CE%B9%CE%B1-%CE%B3%CE%BB%CF%8E%CF%83%CF%83%CE%B1/

 

 

Κεφάλαιο 4 – Εξισώσεις

Καλώς ήρθατε στον κόσμο των εξισώσεων! Πρόκειται για ένα διαφορετικό ταξίδι, στο οποίο θα γνωρίσουμε την έννοια των μεταβλητών. Δηλαδή, θα μάθουμε ότι στα μαθηματικά δε συναντάμε μόνο αριθμούς, αλλά και γράμματα!  Σε αυτό το επίπεδο θα μάθουμε να λύνουμε εξισώσεις διαισθητικά, καθώς η αλγεβρική διαδικασία επίλυσης εξισώσεων ανήκει στη Β' Γυμνασίου.

Τα αναμενόμενα μαθησιακά αποτελέσματα μετά τη μελέτη της ενότητας είναι να:

• γνωρίσετε τη μεταβλητή χ
• αναγνωρίσετε τα μαθηματικά ως μια παγκόσμια γλώσσα
• μεταφράζετε μαθηματικές έννοιες στα ελληνικά και αντίστροφα
• επιλύετε εξισώσεις πρώτου βαθμού διαισθητικά

---

4.1 Η έννοια της εξίσωσης

Ο άγνωστος x

Τα Μαθηματικά, μια παγκόσμια γλώσσα

Η έννοια της εξίσωσης

---

4.2 Προβλήματα με εξισώσεις

Επίλυση Προβλημάτων με τη βοήθεια εξισώσεων

Ο άγνωστος χ

Μόλις προσγειωθήκατε στον κόσμο των εξισώσεων! Ετοιμαστέιτε για να αρχίσουμε την εξερεύνηση!

Το παρακάτω χιουμοριστικό βίντεο θα σας φέρει σε επαφή με το περιεχόμενο που θα διαπραγματευτούμε σε αυτήν την ενότητα.

Πηγή: daskalos98 (2011, Δεκέμβριος 2). Ο άγνΩστος Χ [Βίντεο]. YouTube. Ανακτήθηκε από https://www.youtube.com/watch?v=IgH06_8Nw6I

Ο πιο γνωστός άγνωστος στην ιστορία των μαθηματικών είναι ο άγνωστος x. Γιατί, όμως, συμβαίνει αυτό; Το παρακάτω βίντεο θα σας βοηθήσει να απαντήσετε σε αυτό το ερώτημα.

Πηγή: Ted. (2012, Ιούνιος 6). Why is 'x' the unknown?| Terry Moore [Video] YouTube. Ανακτήθηκε από https://www.youtube.com/watch?v=YX_OxBfsvbk

Τελικά, γιατί καθιερώθηκε ο άγνωστος x; Μπορείτε να μου γράψετε στα σχόλια τις απαντήσεις σας.